Question

如圖，已知直角梯形COAB中，CB‖OA，以O為原點，建立平面直角坐標系，A、B、C的坐標分別為A（6，0）、B（3，4）、C（0，4），D為OA的中點，動點P在線段AB上沿A至 B的方向運動，速度為每秒1個單位，運動時間記為t秒．
（1）動點P在從A到B的運動過程中，記△APD的面積為S，試寫出S與t的函數(shù)關系式，指出自變量的取值范圍，并求出S的最大值；
（2）在動點P從A到B的運動過程中，是否存在某個時刻，使得四邊形PBCD為等腰梯形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，過P作PE⊥OA于E，由D為OA中點可知AD=OD=BC=3，BD=CO=4，所以BC∥OD，BC=OD，再判斷出四邊形ODBC為矩形，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB的長，再由Rt△APE∽Rt△ABD可得出=，，進而得出PE的長，由三角形的面積即可得出結論；
（2）因為BC∥AD，且BC=AD可得出四邊形ABCD為平行四邊形，由PB∥CD可知設在點P處四邊形PBCD為等腰梯形，則PD=AD=BC=3．過D作DF⊥AB于F，AF=PF，再由DF==即可求出DF的長，再由勾股定理即可得出結論．
解答：解：（1）連接BD，過P作PE⊥OA于E．
∵D為OA中點，
∴AD=OD=BC=3，BD=CO=4，
∴BC∥OD，BC=OD；
又∵∠DOC=90°，
∴四邊形ODBC為矩形，
∴BD⊥OA，AB=，
∵Rt△APE∽Rt△ABD，
∴，
∴，
∴，（0≤t≤5）
∴當t=5時，S_最大=6；

（2）存在．連接CD，由題意得：BC∥AD，且BC=AD
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴PB∥CD．        
設在點P處四邊形PBCD為等腰梯形，則PD=AD=BC=3．
過D作DF⊥AB于F，則AF=PF，
又∵，
∴（秒）
即此時t=3.6秒．．
點評：本題考查的是相似三角形綜合題及勾股定理，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關鍵．