Question

【題目】如圖，∠MON=α（0＜α＜90°），A為OM上一點（不與O重合），點A關(guān)于直線ON的對稱點為B，AB與ON交于點C，P為直線ON上一點（不與O，C重合）將射線PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)β角，其中2α+β=180°，所得到的射線與直線OM交于點Q．這個問題中，點的位置和角的大小都不確定，在這里我們僅研究兩種特殊情況，一般的情況留給同學(xué)們深入探索．

（1）如圖1，當(dāng)α=45°時，此時β=90°，若點P在線段OC的延長線上．

①依題意補全圖形；

②求∠PQA﹣∠PBA的值；

（2）如圖2，當(dāng)α=60°，點P在線段CO的延長線上時，用等式表示線段OC，OP，AQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②45°；（2）AQ＝4OC+OP，理由見解析.

【解析】

（1）①依據(jù)題意可得圖形；

②通過軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可求AB⊥OP，BP⊥PQ，可得∠PBA=∠OPQ，即可求∠PQA﹣∠PBA的值；

（2）在OQ上截取OD=OP，連接BO，PD，BQ，由題意可得∠BON=∠MON=∠POQ=60°，∠BPQ=β=180°﹣2α=60°，可證點B，點Q，點P，點O四點共圓，可得∠PBQ=∠POQ=60°，∠PBO=∠OQP，由“AAS”可證△BOP≌△QDP，可得DQ=OB=OA=2OC，即可求線段OC，OP，AQ之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）①

②∵點A，點B關(guān)于ON對稱，∴AB⊥ON，∴∠PBA+∠BPC=90°．

∵∠BPQ=90°，∴∠BPC+∠OPQ=90°，∴∠OPQ=∠PBA．

∵∠PQA=∠O+∠OPQ，∴∠PQA=∠O+∠PBA，∴∠PQA﹣∠PBA=∠O=45°．

（2）AQ=4OC+OP．理由如下：

在OQ上截取OD=OP，連接BO，PD，BQ．

∵∠MON=α=60°，且點A關(guān)于直線ON的對稱點為B，∴∠BON=∠MON=∠POQ=60°，AO=BO，CO⊥AB，∴∠BOQ=60°，∠CAO=30°，∴AO=2CO．

∵旋轉(zhuǎn)，∴∠BPQ=β=180°﹣2α=60°，∴∠BOQ=∠BPQ=60°，∴點B，點Q，點P，點O四點共圓，∴∠PBQ=∠POQ=60°，∠PBO=∠OQP，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=PQ．

∵OD=OP，∠QOP=60°，∴△ODP是等邊三角形，∴∠ODP=∠DOP=60°，∴∠BOP=∠PDQ=120°，且BP=PQ，∠OBP=∠OQP，∴△BOP≌△QDP（AAS），∴DQ=OB，∴DQ=OA=2OC，∴AQ=AO+OQ=2CO+OD+PQ=4OC+OP．