Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且OB＝OC＝3AO．直線y＝x+1與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)直線AD上方的拋物線上的動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)CQ，判斷線段CQ與線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．

（3）連結(jié)PA、PD，當(dāng)m為何值時，S△PAD＝S△DAB；

（4）在直線AD上是否存在一點(diǎn)H使△PQH為等腰直角三角形，若存在請求出m的值，不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3， Q（1，4）；（2）線段CQ與線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是平行且相等，理由詳見解析；（3）m＝0或1；（4）存在，m＝0或2或1．

【解析】

（1）直線y＝x+1與拋物線交于A點(diǎn)，則點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)E（0，1），則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，3），即可求解；

（2）CQ＝＝AE，直線AQ和AE的傾斜角均為45°，即可求解；

（3）S△PAD＝×PK×（xD﹣xA）＝×3×（﹣m2+2m+3﹣m﹣1）＝S△DAB＝×4×3，即可求解；

（4）分∠QOH＝90°、∠PQH＝90°、∠QHP＝90°三種情況，分別求解即可．

（1）直線y＝x+1與拋物線交于A點(diǎn)，則點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)E（0，1），

則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，3），

故拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3，

函數(shù)的對稱軸為：x＝1，故點(diǎn)Q（1，4）；

（2）CQ＝＝AE，直線AQ和AE的傾斜角均為45°，

故線段CQ與線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是平行且相等；

（3）聯(lián)立直線y＝x+1與拋物線的表達(dá)式并解得：x＝0或2，故點(diǎn)D（2，3），

過點(diǎn)P作y軸的平行線交AD于點(diǎn)K，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)K（m，m+1），

S△PAD＝×PK×（xD﹣xA）＝×3×（﹣m2+2m+3﹣m﹣1）＝S△DAB＝×4×3，

解得：m＝0或1，

故點(diǎn)P（0，3）或（1，4）；

（4）存在，理由：

設(shè)點(diǎn)H（t，t+1），點(diǎn)P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而點(diǎn)Q（1，4），

①當(dāng)∠QOH＝90°時，如圖1，

過點(diǎn)O作y軸的平行線，分別交過點(diǎn)H、點(diǎn)Q與x軸的平行線于點(diǎn)M、G，

∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，

∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，

∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，

即：4﹣n＝t﹣m，1﹣m＝n﹣t﹣1，

解得：m＝0或2，

故點(diǎn)P（2，3）或（0，3）；

②當(dāng)∠PQH＝90°時，

則∠QHP＝∠QPH＝45°，故PH∥x軸，

同理可得：m＝0或2，

故點(diǎn)P（2，3）或（0，3）；

③當(dāng)∠QHP＝90°時，

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)D的下方時，如左側(cè)圖，

同理可得：m＝3，

故點(diǎn)P（3，0）；

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)D的下方時，如右側(cè)圖，

同理可得：m＝1，

故點(diǎn)P（1+，2）或（1﹣，2）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，3）或（0，3）或（3，0）或（1+，2）或（1﹣，2）．