Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為MN（點M、N分別在邊AC、BC上）.給出以下判斷：

①當(dāng)MN∥AB時，CM=AM；

②當(dāng)四邊形CMDN為矩形時，AC=BC；

③當(dāng)點D為AB的中點時，∠CMN＝∠B；

④當(dāng)∠CMN＝∠B時，點D為AB的中點；

其中正確的是__.（把所有正確結(jié)論序號都填在橫線上）.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】①∵MN∥AB，

∴∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，

由翻折變換的性質(zhì)可知，∠CMN=∠DMN，CM=DM，

∴∠CAB=∠MDA，

∴AM=DM，

∴CM=AM，故①正確；

②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CE=DE，矩形CEDF是正方形，

又任意一個直角三角形都有一個內(nèi)接正方形滿足題意，

故②錯誤；

③當(dāng)點D是AB的中點時，∠CMN＝∠B，

理由如下：如圖2,連接CD,與EF交于點Q,

∵CD是Rt△ABC的中線，

∴CD=DB=AB，

∴∠DCB=∠B，

由軸對稱的性質(zhì)可知,∠CQF=∠DQF=90°，

∴∠DCB+∠CFE=90°，

∵∠B+∠A=90°，

∴∠CFE=∠A，

又∵∠C=∠C，

∴△CEF∽△CBA；

∴∠CMN＝∠B，

故③正確；

④∵當(dāng)∠CMN＝∠B時

∴△CEF與△ABC相似，

∴∠EFD=∠CAB,∠EDF=∠ECF=90°，

∴C，E，D，F四點共圓，

∴∠ACD=∠EFD，

∴∠ACD=∠A，

∴AD=CD，同理CD=BD，

∴點D為AB的中點,故④正確，

故答案為：①③④.

點睛: 本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題，勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中,運用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．