Question

如圖，拋物線y=ax²+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），連接BC．

（1）求該拋物線的解析式和對(duì)稱軸，并寫出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將線段BC先向左平移2個(gè)單位長度，在向下平移m個(gè)單位長度，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C₁恰好落在該拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)C₁的坐標(biāo)和m的值；

（3）若點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P，Q，B，C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣1）²+2，

∴對(duì)稱軸是x=1，

∵1+（1+1）=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

∴BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，1）；

 

（2）∵線段BC先向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移m個(gè)單位長度，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C₁恰好落在該拋物線上，

∴點(diǎn)C₁的橫坐標(biāo)為﹣2，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣×（﹣2）²+×（﹣2）+2=﹣，

∴點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（﹣2，﹣），

m=2﹣（﹣）=5；

 

（3）①若BC為平行四邊形的一邊，

∵BC的橫坐標(biāo)的差為3，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，

∴P的橫坐標(biāo)為4或﹣2，

∵P在拋物線上，

∴P的縱坐標(biāo)為﹣3，

∴P₁（4，﹣3），P₂（﹣2，﹣3）；

②若BC為平行四邊形的對(duì)角線，

則BC與PQ互相平分，

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，1），

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.5+（1.5﹣1）=2，

∴P的縱坐標(biāo)為﹣×2²+×2+2=2，

∴P₃（2，2）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（4，﹣3），P₂（﹣2，﹣3），P₃（2，2）．