Question

如圖，當(dāng)x=2時，拋物線取得最小值－1，并且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的右邊）。

（1）求拋物線的解析式；
（2）D是線段AC的中點(diǎn)，E為線段AC上的一動點(diǎn)（不與A,C重合），過點(diǎn)E作y軸的平行線EF與拋物線交于點(diǎn)F。問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△APD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）或；（3）

試題分析：（1）已知，當(dāng)x=2時，拋物線的最小值為-1，因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）；可用頂點(diǎn)式來設(shè)拋物線的解析式，然后將C的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式．
（2）由于EF∥OC，那么∠FED=45°，因此要使三角形EFD與三角形COA相似，只有兩種情況：當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時，∠EDF=90°，由于D是AC中點(diǎn)，而FD⊥AC，三角形AOC又是個等腰直角三角形，因此DF正好在∠COA的平分線上，即DF在直線y=x上，此時可先求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式，然后聯(lián)立拋物線的解析式求出F的坐標(biāo)，由于E、F的橫坐標(biāo)相同，將F的橫坐標(biāo)代入AC所在的直線的解析式中即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時，∠EFD=90°，那么DF與三角形AOC的中位線在同一直線上，即DF所在的直線的解析式為y=2，然后可根據(jù)（2）的方法求出p點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為
y=a（x-2）²-1
因?yàn)辄c(diǎn)C（0，3）在拋物線上
所以3=a（0-2）²-1，即a=1
所以，拋物線的關(guān)系式為；
（2）令y=0，即x²-4x+3=0，
得點(diǎn)A（3，0），B（1，0），線段AC的中點(diǎn)為D（，）
直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3
因?yàn)椤鱋AC是等腰直角三角形，
所以，要使△DEF與△AOC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．
由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以點(diǎn)D、F為直角頂點(diǎn)．
當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時，DF⊥EF，此時△DEF∽△ACO，DF所在直線為y=


當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時，DF⊥AC，此時△DEF∽△OAC，由于點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，
因此，DF所在直線過原點(diǎn)O，其關(guān)系式為y=x．


當(dāng)∠DFE=90°時，E₁，當(dāng)∠EDF=90°時，E₂；
（3）

點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是要注意的是（3）中在不確定△EDF的直角頂點(diǎn)的情況下要分類進(jìn)行討論，不要漏解．