Question

如圖，P為正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

10

，tan∠ABO=3．直線(xiàn)OP交AB于N，DC于M，點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以

2

個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
求：（1）分別寫(xiě)出A、C、D、P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ANO與△DMR相似？
（3）△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值及S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)即可求得OA，OB的長(zhǎng)，即可得到A則坐標(biāo)，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得D，P的坐標(biāo)；
（2）分∠MDR=45°和∠DRM=45°兩種情況求得t的值；
（3）分0＜t≤4和t＞4兩種情況求得函數(shù)解析式，然后分當(dāng)CR∥AB時(shí)，當(dāng)AR∥BC時(shí)，當(dāng)BR∥AC三種情況求得t的值，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）
（2）過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AO，于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MS于點(diǎn)F，MS⊥x軸于點(diǎn)S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直線(xiàn)AB的解析式為：y=-3x+3①；
直線(xiàn)OP的解析式為：y=x②，
①②聯(lián)立得

x= 3 4 y= 3 4

，
∴N（

3

4

，

3

4

），
直線(xiàn)CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程組：

y=-3x+13 y=x

，解得：

x= 13 4 y= 13 4

．
則M的坐標(biāo)是：（

13

4

，

13

4

），
∴ON=

3

4

2

，OM=

13

4

2

，
∵AD²+DM²=AF²+MF²，
10+MD²=（

13

4

）²+（

1

4

）²，
∴DM=

10

4

，
AN=

AE2+EN2

=

3 10

4

．
當(dāng)∠MDR=45°時(shí)，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO與△DMR相似，則△ANO∽△RMD，
∴

MR

DM

=

AN

NO

，即

MR

10 4

=

3 10 4

3 2 4

，
解得：MR=

5 2

4

，
則OR=OM-MR=2

2

．
∴t=2，
同理可得：當(dāng)∠DRM=45°時(shí)，t=3，△ANO與△DMR相似，
綜上可知：t=2或3時(shí)當(dāng)△ANO與△DMR相似；
（3）①∵R速度為

2

，H速度為1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始終垂直于x軸，
∴RH=OH=t，
設(shè)△HCR的邊RH的高為h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h•t•

1

2

2=|-t²+4t|•

1

2

，
∴S=-

1

2

t²+2t（0＜t＜4）；S=

1

2

t²-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R為頂點(diǎn)的梯形，有兩種可能：
1．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時(shí)BC∥AR．
延長(zhǎng)AD，使其與OM相交于點(diǎn)R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=

1

3

，
∴直線(xiàn)AD為：y=

x

3

+3．
∴R坐標(biāo)為（4.5，4.5），
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形為梯形，
∴t=4.5
2．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時(shí)CR∥AB，且R與M重合．
∴CD的斜率=-3，且直線(xiàn)CD過(guò)點(diǎn)C，
∴直線(xiàn)CD為：y-1=-3•（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM與CD交于點(diǎn)M（即R），
∴M為（

13

4

，

13

4

），
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形，
∴t=

13

4

，
∴當(dāng)CR∥AB時(shí)，t=

13

4

，S=

39

32

，
當(dāng)AR∥BC時(shí)，t=

9

2

，S=

9

8

，
當(dāng)BR∥AC時(shí)，t=

1

3

，S=

11

18

．
（3）①分兩種情況：
一、0＜t≤4，H在E點(diǎn)左側(cè)；
易知RH=t，HE=4-t，故S=

1

2

RH•HE=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t；
二、t＞4，H在E點(diǎn)右側(cè)；
易知RH=t，HE=t-4，故S=

1

2

RH•HE=

1

2

t（t-4）=

1

2

t²-2t；
②若以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，分三種情況：
一、CR∥AB；此時(shí)R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直線(xiàn)CD：y=-3x+13；
當(dāng)x=y時(shí)，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）點(diǎn)橫坐標(biāo)為

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

，代入S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）可得S=

39

32

；
同理可求得：
二、AR∥BC時(shí)，t=

9

2

，S=

9

8

；
三、BR∥AC時(shí)，t=

1

3

，S=

11

18

；
綜合①②可得：
S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）；（1分）
S=

1

2

t²-2t（t＞4）．（1分）
當(dāng)CR∥AB時(shí)，t=

13

4

，（1分）
S_最大=

39

32

；（1分）
當(dāng)AR∥BC時(shí)，t=

9

2

，S_最大=

9

8

；（1分）
當(dāng)BR∥AC時(shí)，t=

1

3

，S_最大=

11

18

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．