Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，拋物線y＝ax²＋ax－2經(jīng)過點(diǎn)C。

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線(對(duì)稱軸的右側(cè))上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖②，E為BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，過A．B．E三點(diǎn)作⊙O’，連結(jié)AE，在⊙O’上另有一點(diǎn)F，且AF＝AE，AF交BC于點(diǎn)G，連結(jié)BF。下列結(jié)論：①BE＋BF的值不變；②，其中有且只有一個(gè)成立，請(qǐng)你判斷哪一個(gè)結(jié)論成立，并證明成立的結(jié)論。

Answer 1

解:

(1)    由Rt△AOB≌Rt△CDA得OD=2+1=3，CD=1，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，1），

 ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，

∴。

∴拋物線的解析式為。

（2）在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P、Q，使四邊形ABPQ是正方形。

以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABPQ。過P作PE⊥OB于E，QG⊥x軸于G，

可證△PBE≌△AQG≌△BAO,

∴PE=AG=BO=2,  BE=QG=AO=1,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）。

由（1）拋物線。當(dāng)x=2時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=-1。

∴P、Q在拋物線上，故在拋物線（對(duì)稱軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形。

（2）另解：在拋物線（對(duì)稱軸右側(cè)）上存在P、Q，使四邊形ABPQ是正方形。

延長CA交拋物線于Q，過B作BP∥CA交拋物線于P，連接PQ，

如左圖，設(shè)直線CA、BP的解析式分別為;,

∵A(-1,0),C(-3,1),∴CA的解析式是，

同理得BP的解析式為，

解方程組

得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）。同理得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）。

由勾股定理得AQ=BP=AB=.而∠BAQ=90°，

∴四邊形ABPQ是正方形。故在拋物線（對(duì)稱軸右側(cè)）上存在點(diǎn)P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形。

（2）另解：在拋物線（對(duì)稱軸右側(cè)）上存在P、Q，使四邊形ABPQ是正方形。

延長CA交拋物線于Q，過B作BP∥CA交拋物線于P，連接PQ，

如左圖，將線段CA沿CA方向平移至AQ，

∵C（-3，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A（-1，0），∴A（-1，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q（1，-1）；

再將線段AQ沿AB方向移至BP，同理可得P(2,1).

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴四邊形ABPQ是正方形。

經(jīng)驗(yàn)證P、Q兩點(diǎn)均在拋物線上

上。

（3）結(jié)論②成立。證明如下：

如右圖，連EF，過F作FM∥BG交AB的延長線于M，則△AMF∽△ABC，

∴。

由（1）知△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45°。

∵AF=AE, ∴∠AEF=∠1=45°, ∠EAF=90°，EF是⊙O^`的直徑，∴∠EBF=90°，

∵FM∥BG，∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°, ∴BF=MF, ∴