【題目】如圖,點(diǎn)A在直線l上,點(diǎn)B在直線l外,點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C,連接AC,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,延長BD至E使BE=AB,連接AE并延長與BC的延長線交于點(diǎn)F.
(1)補(bǔ)全圖形;
(2)若∠BAC=2α,求出∠AEB的大小(用含α的式子表示);
(3)用等式表示線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)見解析;(2)∠AEB=;(3)BC=,證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意作圖即可補(bǔ)全圖形;
(2)先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABD,再由BE=AB,可得∠AEB=∠BAE,然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果;
(3)設(shè)l與BC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)G,如圖3,先利用軸對(duì)稱的性推出∠BAH=∠CAH=α,再根據(jù)質(zhì)余角的性質(zhì)推出∠CBD=∠CAH=α,進(jìn)一步利用(2)的結(jié)論和三角形的外角性質(zhì)推出∠F=45°,進(jìn)而可得,然后根據(jù)AAS可證明△ABH≌△BEG,從而得BH=EG,而BC=2BH,進(jìn)一步即可得出EF與BC的數(shù)量關(guān)系.
解:(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示:
(2)∵BD⊥AC,∠BAD=2α,∴∠ABD=90°-2α,
∵BE=AB,∴∠AEB=∠BAE=;
(3)線段EF與BC的數(shù)量關(guān)系是:BC=.
證明:設(shè)l與BC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)G,如圖2,
∵點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C,∠BAC=2α,
∴BH=CH,∠BAH=∠CAH=α,
∵AH⊥BC,BD⊥AC,∴∠CAH+∠ACH=90°,∠CBD+∠ACH=90°,
∴∠CBD=∠CAH=α,
∵∠AEB,∠AEB=∠CBD+∠F,
∴∠F=45°,則△EFG為等腰直角三角形,∴,
∵∠BAH=∠EBG=α,∠AHB=∠BGE=90°,AB=BE,
∴△ABH≌△BEG(AAS),
∴BH=EG,
∵BC=2BH,∴BC=2EG=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知BD平分∠ABF,且交AE于點(diǎn)D.
(1)求作:∠BAE的平分線AP(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)設(shè)AP交BD于點(diǎn)O,交BF于點(diǎn)C,連接CD,當(dāng)AC⊥BD時(shí),求證:四邊形ABCD是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市文化宮學(xué)習(xí)十九大有關(guān)優(yōu)先發(fā)展教育的精神,舉辦了為某貧困山區(qū)小學(xué)捐贈(zèng)書包活動(dòng).首次用2000元在商店購進(jìn)一批學(xué)生書包,活動(dòng)進(jìn)行后發(fā)現(xiàn)書包數(shù)量不夠,又購進(jìn)第二批同樣的書包,所購數(shù)量是第一批數(shù)量的3倍,但單價(jià)貴了4元,結(jié)果第二批用了6300元.
(1)求文化官第一批購進(jìn)書包的單價(jià)是多少?
(2)商店兩批書包每個(gè)的進(jìn)價(jià)分別是68元和70元,這兩批書包全部售給文化宮后,商店共盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣(x﹣a)(x﹣b),其中a<b,m、n(m<n)是方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的兩個(gè)根,則實(shí)數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系是( 。
A. a<m<n<b B. m<a<b<n C. a<m<b<n D. m<a<n<b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),BE與CD交于點(diǎn)F,給出下列三個(gè)條件:①∠DBF=∠ECF;②∠BDF=∠CEF; ③BD=CE.兩兩組合在一起,共有三種組合:(1)①②;(2)①③;(3)②③問能判定AB=AC的組合的是( )
A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是“求作∠AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖,鈍角∠AOB.求作:∠AOB的角平分線.
作法:
①在OA和OB上,分別截取OD、OE,使OD=OE;
②分別以D、E為圓心,大于的長為半徑作弧,在∠AOB內(nèi),兩弧交于點(diǎn)C;
③作射線OC.
所以射線OC就是所求作的∠AOB的角平分線.
在該作圖中蘊(yùn)含著幾何的證明過程:
由①可得:OD=OE
由②可得:_________________
由③可知:OC=OC
∴______≌_________(依據(jù):________________________)
∴可得∠COD=∠COE(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)
即OC就是所求作的∠AOB的角平分線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】信息1:我們已經(jīng)學(xué)完了解分式方程,它的一般步驟為:確定最簡公分母、化為整式方程、求出整式方程的解、進(jìn)行檢驗(yàn)(第一,代入最簡公分母驗(yàn)證是否為零,第二代入分式方程的左右兩邊檢驗(yàn)是否相等)、確定分式方程的解.其中代入最簡公分母驗(yàn)證這一步也就是在驗(yàn)證所有分式在取此值時(shí)是否有意義;
信息2:遇到這種特征的題目,可以兩邊同時(shí)平方得到;
信息3:遇到這種特征的題目,可以將左邊變形,得到,進(jìn)而可以得到或.
結(jié)合上述信息解決下面的問題:
問題1:如果.可得:;
問題2:解關(guān)于b的方程:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:①4a+b=0②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0④若點(diǎn)A(﹣3,y1),點(diǎn)B(﹣2,y2),點(diǎn)C(8,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2⑤若方程a(x﹣1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣l<5<x2,其中正確的結(jié)論有( )
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文化,源遠(yuǎn)流長,在文學(xué)方面,《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表,被稱為“四大古典名著”.某中學(xué)為了了解學(xué)生對(duì)四大古典名著的閱讀情況,就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中信息解決下列問題:
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了_____名學(xué)生,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_____部,中位數(shù)是_____部;
(3)計(jì)算該校抽取的這部分學(xué)生平均每人看“四大古典名著”多少部?
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