Question

【題目】如圖1,P為∠MON平分線OC上一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)的∠APB兩邊分別與射線OM和ON交于A. B兩點(diǎn),如果∠APB在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OAOB=OP ，我們就把∠APB叫做∠MON的關(guān)聯(lián)角.

(1)如圖2,P為∠MON平分線OC上一點(diǎn),過(guò)P作PB⊥ON于B,AP⊥OC于P,那么∠APB___∠MON的關(guān)聯(lián)角(填“是”或“不是”).

(2)①如圖3,如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角，連接AB，求△AOB的面積和∠APB的度數(shù)；

②如果∠MON=α°(0°<α°<90°)，OP=m，∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角，直接用含有α和m的代數(shù)式表示△AOB的面積。

(3)如圖4,點(diǎn)C是函數(shù)y= (x>0)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點(diǎn)，且滿足BC=2CA，直接寫(xiě)出∠AOB的關(guān)聯(lián)角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】(1) 是；(2)①，150°；②m×sinα；(3) 點(diǎn)(,)或(,)或(,),P2(,).

【解析】

（1）先判斷出△OBP∽△OPA，即可；

（2）①先根據(jù)關(guān)聯(lián)角求出OA×OB=4，再利用三角形的面積公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；②根據(jù)三角形面積公式把α和m代入即可；

（3）根據(jù)條件分情況討論，點(diǎn)B在y軸正半軸和負(fù)半軸，在負(fù)半軸時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算，不存在，②在正半軸時(shí)，由BC=2AC判斷出點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，即可．

(1)∵P為∠MON平分線OC上一點(diǎn)，

∴∠BOP=∠AOP，

∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，

∴∠OBP=∠OPA，

∴△OBP∽△OPA，

∴ ，

∴OP=OA×OB，

∴∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角.

故答案為是.

(2)①如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB，

∵∠APB是∠MON的關(guān)聯(lián)角，OP=2，

∴OA×OB=OP=4，

在Rt△AOH中,∠AOH=90°，

∴sin∠AOH= ，

∴AH=OAsin∠AOH，

∴S = OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP× = ，

∵OP=OA×OB，

∴ ，

∵點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°30°=150°，

②由①有,S =OB×OA×∠MON=m×sinα；

(3)∵過(guò)點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點(diǎn)，且滿足BC=2CA，

∴只有點(diǎn)A在x軸正半軸，

①當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸時(shí),設(shè)A(m,0),B(0,n)(m>0,n<0)

∴OA=m，OB=n，

∵BC=2CA，

∴點(diǎn)A是BC中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C(2m,n)，

∵點(diǎn)C在雙曲線y=2x上，

∴2m×(n)=2，

∴mn=1(不符合題意,舍去)，

∵∠AOB的關(guān)聯(lián)角∠APB

∴OP=OA×0B=|m||n|=1，

∴OP=1，

∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,設(shè)P(a,a)，

∴OP=2a，

∴2a=1，

∴a=± ，

∴點(diǎn)P(,)或(,)

②當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸,設(shè)A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0)

∴點(diǎn)C( )，

∴=2，

∴mn=9，

∵∠AOB的關(guān)聯(lián)角∠APB

∴OP=OA×0B=mn=9，

∴OP=3，

∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,設(shè)P(a,a)，

∴OP=2a，

∴2a=9，

∴a=±，

即：點(diǎn)P (,),P2(,)，

綜上所述,點(diǎn)(,)或(,)或(,),P2(,).