如圖,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD、DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(P、Q兩點(diǎn)中,有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí),所有運(yùn)動(dòng)即終止).設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒.
(1)當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí),求t的值;
(2)試問是否存在這樣的t,使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半?若存在,求出這樣的t的值;若不存在,請說明理由.
(1)過D作DE⊥AB于E,過C作CF⊥AB于F,如圖1.
∵四邊形ABCD是等腰梯形,
∴四邊形CDEF是矩形,
∴DE=CF.
又∵AD=BC,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF,AE=BF.
又CD=2cm,AB=8cm,
∴EF=CD=2cm,
AE=BF=
1
2
(8-2)=3(cm).
若四邊形APQD是直角梯形,則四邊形DEPQ為矩形.
∵CQ=t,
∴DQ=EP=2-t,
∵AP=AE+EP,
∴2t=3+2-t,
∴t=
5
3


(2)在Rt△ADE中,DE=
36-9
=3
3
(cm),
S梯形ABCD=
1
2
(8+2)×3
3
=15
3
(cm2).
當(dāng)S四邊形PBCQ=
1
2
S梯形ABCD時(shí),
①如圖2,若點(diǎn)Q在CD上,即0≤t<2,
則CQ=t,BP=8-2t.
S四邊形PBCQ=
1
2
(t+8-2t)×3
3
=
15
3
2
,
解之得t=3(舍去).
②如圖3,若點(diǎn)Q在AD上,即2≤t<4.
過點(diǎn)Q作HG⊥AB于G,交CD的延長線于H.
由圖1知,sin∠ADE=AE:AD=
1
2
,
∴∠ADE=30°,
則∠A=60度.在Rt△AQG中,AQ=8-t,QG=AQ•sin60°=
3
(8-t)
2
,
在Rt△QDH中,∠QDH=60°,DQ=t-2,QH=DQ•sin60°=
3
(t-2)
2

由題意知,S四邊形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=
1
2
×2t×
3
(8-t)
2
+
1
2
×2×
3
(t-2)
2
=
15
3
2
,
即t2-9t+17=0,解之得t1=
9+
13
2
(不合題意,舍去),t2=
9-
13
2

答:存在t=
9-
13
2
,使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半.
練習(xí)冊系列答案
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