Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=﹣與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線l經(jīng)過B，C兩點，點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接CM，將線段MC繞點M順時針旋轉90°得到線段MD，連接CD，BD．設點M運動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：

（1）求點A的坐標與直線l的表達式；

（2）①直接寫出點D的坐標（用含t的式子表示），并求點D落在直線l上時的t的值；

②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值；

（3）在點M運動的過程中，在直線l上是否存在點P，使得△BDP是等邊三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值為；（3）P（2，﹣），理由見解析.

【解析】

（1）當y=0時，﹣=0，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系數(shù)法可求直線l的表達式；

（2）分當點M在AO上運動時，當點M在OB上運動時，進行討論可求D點坐標，將D點坐標代入直線解析式求得t的值；線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，根據(jù)勾股定理可求點M運動的過程中線段CD長度的最小值；

（3）分當點M在AO上運動時，即0＜t＜3時，當點M在OB上運動時，即3≤t≤4時，進行討論可求P點坐標．

（1）當y=0時，﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，

∵點A在點B的左側，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

由解析式得C（0，），

設直線l的表達式為y=kx+b，將B，C兩點坐標代入得b=mk﹣，

故直線l的表達式為y=﹣x+；

（2）當點M在AO上運動時，如圖：

由題意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，過點D作x軸的垂線垂足為N，

∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，

∴∠MCO=∠DMN，

在△MCO與△DMN中，

，

∴△MCO≌△DMN，

∴MN=OC=，DN=OM=3﹣t，

∴D（t﹣3+，t﹣3）；

同理，當點M在OB上運動時，如圖，

OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=，ON=t﹣3+，DN=OM=t﹣3，

∴D（t﹣3+，t﹣3）．

綜上得，D（t﹣3+，t﹣3）．

將D點坐標代入直線解析式得t=6﹣2，

線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，

∵M在AB上運動，

∴當CM⊥AB時，CM最短，CD最短，即CM=CO=，根據(jù)勾股定理得CD最小；

（3）當點M在AO上運動時，如圖，即0＜t＜3時，

∵tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°，

∵△BDP是等邊三角形，

∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，

∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+，NB=4﹣t﹣，tan∠NBO=，

=，解得t=3﹣，

經(jīng)檢驗t=3﹣是此方程的解，

過點P作x軸的垂線交于點Q，易知△PQB≌△DNB，

∴BQ=BN=4﹣t﹣=1，PQ=，OQ=2，P（2，﹣）；

同理，當點M在OB上運動時，即3≤t≤4時，

∵△BDP是等邊三角形，

∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，

∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+，tan∠NBD=，

=，解得t=3﹣，

經(jīng)檢驗t=3﹣是此方程的解，t=3﹣（不符合題意，舍）．

故P（2，﹣）．