Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒3個(gè)長度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng). 動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)長度單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點(diǎn). 連結(jié)FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1) 當(dāng)t＝1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積；

(2) t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

(3) 設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(shí)(t₁≠t₂)，所對應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請證明你的判斷.

 

Answer 1

【答案】

（1）18；（2）t=5時(shí)，最大面積是50；（3）相似

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)直線的性質(zhì)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的移動(dòng)規(guī)律，得到AP的長，從而求出OP的長；又因?yàn)镋F=BE，用OB的長減去OE的長即可求出EF的長；從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積；

（2）設(shè)OE=t，AP=3t，利用梯形面積公式，將梯形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)表達(dá)式，求二次函數(shù)的最大值即可；

（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．求出三角形各邊的長度表達(dá)式，計(jì)算出對應(yīng)邊的比值，加上一個(gè)夾角相等，即可證得結(jié)論．

設(shè)梯形OPFE的面積為S．

（1）對于直線y=-x+20，當(dāng)x=0時(shí)，y=20；當(dāng)y=0時(shí)，x=20，

∴A(20，0)，B(0，20)

∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°

當(dāng)t=1時(shí)，OE=1，AP=3，

∴OP=17，EF=BE=19

∴S=(OP+EF)·OE=18；

(2)OE=t，AP=3t，

∴OP=20-3t，EF=BE=20-t

∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.

∴當(dāng)t=5(在0<t<范圍內(nèi))時(shí)，S_最大值=50；

(3) 作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形

∴FD=OE=t，AF=FD=t. 

又AP=3t.

當(dāng)t=t₁時(shí)，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；

當(dāng)t=t₂時(shí)，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；

∴，

又∠A=∠A，

∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.

考點(diǎn)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是熟記求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．