Question

16．在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（-2，2）、B（4，5）、C（-2，-1）．
（1）在平面直角坐標系中描出點A、B、C，求△ABC的面積；
（2）x軸上是否存在點P，使△ACP的面積為4，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，說明理由．y軸上存在點Q，使△ACQ的面積為4嗎？如果存在，求出點Q的坐標，如果不存在，說明理由；
（3）如果以點A為原點，以經過點A平行于x軸的直線為x′軸，向右的方向為x′軸的正方向；以經過點A平行于y軸的直線為y′軸，向上的方向為y′軸的正方向；單位長度相同，建立新的直角坐標系，直接寫出點B、點C在新的坐標系中的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三點的坐標，在直角坐標系中分別標出位置可描出點A、B、C，把AC當作底，點B到AC的距離當作高，根據(jù)三角形的面積公式計算即可得出△ABC的面積；
（2）設AC與x軸交于點M，則M（-2，0）．根據(jù)△ACP的面積為4，求出PM=$\frac{8}{3}$，進而求得點P的坐標；由于y軸上任意一點與AC的距離都是2，根據(jù)三角形的面積公式得出：當點Q在y軸上時，△ACQ的面積=$\frac{1}{2}$×3×2=3≠4，即可說明y軸上不存在點Q，使△ACQ的面積為4；
（3）根據(jù)條件畫出新的直角坐標系，即可寫出點B、點C在新的坐標系中的坐標．

解答 解：（1）如圖所示：

∵A（-2，2）、B（4，5）、C（-2，-1），
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×3×6=9；

（2）x軸上存在點P，使△ACP的面積為4．理由如下：

設AC與x軸交于點M，則M（-2，0）．
∵△ACP的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$AC•PM=$\frac{1}{2}$×3×PM=4，
∴PM=$\frac{8}{3}$，
∴點P的坐標為（-$\frac{14}{3}$，0）或（$\frac{2}{3}$，0）；
y軸上不存在點Q，使△ACQ的面積為4．理由如下：
∵AC∥y軸，y軸上任意一點與AC的距離都是2，
∴當點Q在y軸上時，△ACQ的面積=$\frac{1}{2}$×3×2=3≠4，
∴y軸上不存在點Q，使△ACQ的面積為4；

（3）如圖所示：
在新的直角坐標系中，點B的坐標為（6，3），點C的坐標為（0，-3）．

點評 本題考查了坐標與圖形性質，三角形的面積，難度一般，解答本題的關鍵是正確作圖，利用數(shù)形結合的思想．