Question

【題目】已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，∠EDF=90°
（1）如圖1，若E、F分別在AC、BC邊上，猜想AE2、BF2和EF2之間有何等量關系，并證明你的猜想；

（2）若E、F分別在CA、BC的延長線上，請在圖2中畫出相應的圖形，并判斷（1）中的結論是否仍然成立（不作證明）

Answer 1

【答案】
（1）結論：AE2+BF2=EF2．

理由：如圖1中，延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2，

∴AE2+BF2=EF2．

（2）如圖2中，結論不變．AE2+BF2=EF2

理由：延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2，

∴AE2+BF2=EF2．

【解析】（1）結論：AE2+BF2=EF2 ． 如圖1中，延長FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．首先證明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再證明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解決問題．（2）結論不變，證明方法類似．
【考點精析】關于本題考查的直角三角形斜邊上的中線，需要了解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能得出正確答案．