Question

2．已知A（m，n），且滿足|m-2|+（n-2）²=0，過A作AB⊥y軸，垂足為B．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）如圖1，分別以AB，AO為邊作等邊△ABC和△AOD，試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，過A作AE⊥x軸，垂足為E，點(diǎn)F、G分別為線段OE、AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），滿足∠FBG=45°，設(shè)OF=a，AG=b，F(xiàn)G=c，試探究$\frac{{c}^{2}}{a+b}$-a-b的值是否為定值？如果是求此定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得m、n的值；
（2）連接OC，由AB=BO知∠BAO=∠BOA=45°，由△ABC，△OAD為等邊三角形知∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°、OA=OD，繼而由∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC得∠DAC=∠BAO=45°，根據(jù)OB=CB=2、∠OBC=30°知∠BOC=75°，∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，∠DOC=∠AOC=30°，證△OAC≌△ODC得AC=CD，再根據(jù)∠CAD=∠CDA=45°知∠ACD=90°，從而得AC⊥CD；
（3）在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M，使得OM=AG=b，連接BG，先證△BAG≌△BOM得∠OBM=∠ABG、BM=BG，結(jié)合∠FBG=45°知∠ABG+∠OBF=45°，從而得∠OBM+∠OBF=45°，∠MBF=∠GBF，再證△MBF≌△GBF得MF=FG，即a+b=c，代入原式可得答案．

解答 解（1）由題得m=2，n=2，
∴A（2，2）；

（2）如圖1，連結(jié)OC，

由（1）得AB=BO=2，
∴△ABO為等腰直角三角形，
∴∠BAO=∠BOA=45°，
∵△ABC，△OAD為等邊三角形，
∴∠BAC=∠OAD=∠AOD=60°，OA=OD
∴∠BAC-∠OAC=∠OAD-∠OAC
即∠DAC=∠BAO=45°
在△OBC中，OB=CB=2，∠OBC=30°，
∴∠BOC=75°，
∴∠AOC=∠BAO-∠BOA=30°，
∴∠DOC=∠AOC=30°，
在△OAC和△ODC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OAC≌△ODC，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD；

（3）如圖，在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M，使得OM=AG=b，連接BG，

在△BAG和△BOM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BA=BO}\\{∠A=∠BOM}\\{AG=OM}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△BOM
∴∠OBM=∠ABG，BM=BG
又∠FBG=45°
∴∠ABG+∠OBF=45°
∴∠OBM+∠OBF=45°
∴∠MBF=∠GBF
在△MBF和△GBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=BG}\\{∠MBF=∠ABF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△MBF≌△GBF
∴MF=FG
∴a+b=c代入原式=0．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵