Question

【題目】已知拋物線y＝mx2+2mx+n與x軸的一個交點為A（﹣3，0），與y軸的負半軸交于點C．

（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；

（2）點C關于x軸的對稱點為點D，當點D在以AB為直徑的半圓上時，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點P，使BP，BD，AB三條之中，其中一條是另兩條所夾角的角平分線？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣1，點B（1，0）；（2）y＝x2+x﹣；（3）點P的坐標為：（0，﹣）或（﹣4，）．

【解析】

（1）函數的對稱軸為：x=-=-1，點A（-3，0），則點B（1，0）；

（2）由BE=ED，得4=1+n2，解得：n=-（正值已舍去），故點C（0，-），即可求解；

（3）分AB是角平分線、BP是角平分線、BD是角平分線三種情況，分別求解即可．

（1）函數的對稱軸為：x＝﹣＝﹣1，

點A（﹣3，0），則點B（1，0）；

（2）點C（0，n），則點D（0，﹣n），

設圓的圓心為E（﹣1，0），

則BE＝ED，即4＝1+n2，解得：n＝﹣（正值已舍去），

故點C（0，﹣），

故拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），

即﹣3a＝﹣，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣…①；

（3）①當AB是角平分線時，

由于點D、C關于x軸對稱，故點C即為點P（0，﹣）；

②當BP是角平分線時，

由于OD＝，OB＝1，故∠DBA＝60°，則BP的傾斜角為30°，

故直線BP的表達式為：y＝﹣x+b，經點B的坐標代入上式并解得：b＝，

故直線BP的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯立①②并解得：x＝﹣4或1（舍去1），故點P（﹣4，）；

③當BD是角平分線時，

同理點P（m，m﹣），

將點P的坐標代入①式并解得：x＝0或1（舍去）；

綜上，點P的坐標為：（0，﹣）或（﹣4，）．