Question

14．連結(jié)正方形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的正方形，我們稱其原正方形的中點(diǎn)正方形，如圖，已知正方形ABCD的中點(diǎn)正方形是A₁B₁C₁D₁，再作正方形A₁B₁C₁D₁的中點(diǎn)正方形A₂B₂C₂D₂，…這樣不斷地作下去，第n次所做的中點(diǎn)正方形 A_nB_nC_nD_n，若正方形ABCD的邊長為1，則第10次所作的中點(diǎn)正方形邊長為$\frac{1}{32}$，若設(shè)中點(diǎn)正方形 A_nB_nC_nD_n的面積為S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=$\frac{1023}{1024}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理找出A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃的長度，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律“A_nB_n=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$”，依此規(guī)律結(jié)合正方形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AB=1，A₁B₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₂B₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$，A₃B₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A₂B₂=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，…，
∴A_nB_n=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$．
當(dāng)n=10時，A₁₀B₁₀=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{10}$=$\frac{1}{32}$．
設(shè)S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{1024}$=S，則$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{1024}$+$\frac{1}{2048}$，
∴S-$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2048}$=$\frac{1023}{2048}$，
∴S=$\frac{1023}{1024}$．
故答案為：$\frac{1}{32}$；$\frac{1023}{1024}$．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理、正方形的面積公式以及規(guī)律型中圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“A_nB_n=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)勾股定理找出部分正方形的邊長，根據(jù)邊長的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．