Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線y= x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．AE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），直線AB交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F，連結(jié)BD．設(shè)線段AE的長為m，△BED的面積為S．

（1）當(dāng)m= 時(shí)，求S的值．
（2）求S關(guān)于m（m≠2）的函數(shù)解析式．
（3）①若S= 時(shí)，求 的值；
②當(dāng)m＞2時(shí)，設(shè) =k，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A在二次函數(shù)y= x2的圖象上，AE⊥y軸于點(diǎn)E，且AE=m，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），

當(dāng)m= 時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ，1），

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），

∴BE=OE=1．

∵AE⊥y軸，

∴AE∥x軸，

∴△ABE∽△CBO，

∴ = ，

∴CO=2 ，

∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，

∴DO=CO=2 ，

∴S= BEDO= ×1×2 =

（2）

解：（i）當(dāng)0＜m＜2時(shí)（如圖1），

∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，

∴△BOD≌△BOC，

∵△BEA∽△BOC，

∴△BEA∽△BOD，

∴ ，即BEDO=AEBO=2m．

∴S= BEDO= ×2m=m；

（ii）當(dāng)m＞2時(shí)（如圖2），

同（i）解法得：S= BEDO= AEOB=m，

由（i）（ii）得，

S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=m（m＞0且m≠2）．

（3）

解：①如圖3，連接AD，

∵△BED的面積為 ，

∴S=m= ，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ， ），

∵ = = =k，

∴S△ADF=kS△BDF，S△AEF=kS△BEF，

∴ = = =k，

∴k= = = ；

②k與m之間的數(shù)量關(guān)系為k= m2，

如圖4，連接AD，

∵ = = =k，

∴S△ADF=kS△BDF，S△AEF=kS△BEF，

∴ = = =k，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），S=m，

∴k= = = m2（m＞2）．

【解析】（1）首先可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），繼而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)及BE、OE的長度，易得△ABE∽△CBO，利用對應(yīng)邊成比例求出CO，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DO，繼而可求解S的值；（2）分兩種情況討論，（I）當(dāng)0＜m＜2時(shí)，將BEDO轉(zhuǎn)化為AEBO，求解；（II）當(dāng)m＞2時(shí)，由（I）的解法，可得S關(guān)于m的函數(shù)解析式；（3）①首先可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù) = = =k，可得S△ADF=kS△BDFS△AEF=kS△BEF ， 從而可得 = = =k，代入即可得出k的值；②可得 = = =k，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（m， m2），S=m，代入可得k與m的關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�