Question

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為

 

．

Answer 1

分析：AM=

1

2

EF=

1

2

AP，所以當(dāng)AP最小時(shí)，AM最小，根據(jù)垂線段最短解答．

解答：解：由題意知，四邊形AFPE是矩形，
∵點(diǎn)M是矩形對角線EF的中點(diǎn)，則延長AM應(yīng)過點(diǎn)P，
∴當(dāng)AP為直角三角形ABC的斜邊上的高時(shí)，即AP⊥BC時(shí)，AM有最小值，
此時(shí)AM=

1

2

AP，由勾股定理知BC=

AB2+AC2

=5，
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AP，
∴AP=

3×4

5

=

12

5

，
∴AM=

1

2

AP=

6

5

．

點(diǎn)評：本題利用了矩形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短求解．