Question

【題目】在△ABC中,∠ACB=900，AC=BC=4，M為AB的中點(diǎn),D是射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，得到線段AE,連接DE,N為DE的中點(diǎn), 連接AN,MN.

(1)如圖1，當(dāng)BD=2時(shí),AN= ,NM= ,MN與AB的位置關(guān)系是 .

(2)當(dāng)4<BD<8時(shí).

①依題意補(bǔ)全圖2：

②判斷(1)中MN與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論.

(3)連接ME，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)BD/的長(zhǎng)為何值時(shí)，ME的長(zhǎng)最小，最小值是多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.

Answer 1

【答案】（1），垂直（2）①圖形見(jiàn)解析②位置關(guān)系不變，

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件得到CD=2，根據(jù)勾股定理得到AD==2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性質(zhì)得到∠AMN=∠ACD，即可得到結(jié)論；（3）連接ME，EB，過(guò)M作MG⊥EB于G，過(guò)A作AK⊥AB交BD的延長(zhǎng)線于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠K=45°，證得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到當(dāng)ME=MG時(shí)，ME的值最小，根據(jù)等量代換即可得到結(jié)論．

試題解析：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，

∴CD=2，

∴AD==2，

∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AD=2，

∵N為ED的中點(diǎn)，

∴AN=DE=，

∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，

∴AM=AB=2，

∵， ，

∴ = ，

∵∠CAB=∠DAN=45°，

∴∠CAD=∠MAN，

∴△ACD∽△AMN，

∴∠AMN=∠C=90°，

∴MN⊥AB，

故答案為： ，垂直；

(2)①補(bǔ)全圖形如圖2所示,

②(1)中NM與AB的位置關(guān)系不發(fā)生變化，

理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠CAN+∠NAM=45°，

∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，

∴AD=AE,∠DAE=90°，

∵N為ED的中點(diǎn)，

∴∠DAN=12∠DAE=45°，AN⊥DE，

∴∠CAN+∠DAC=45°，

∴∠NAM=∠DAC,在Rt△AND中,ANAD=cos∠DAN=cos45°=2，

同理ACAB=2 ，

∴ = ，，

∵∠DAC=45°∠CAN=∠MAN，

∴△ANM∽△ADC，

∴∠AMN=∠ACD，

∵D在BC的延長(zhǎng)線上，

∴∠ACD=180°∠ACB=90°，

∴∠AMN=90°，

∴MN⊥AB；

(3)連接ME，EB，過(guò)M作MG⊥EB于G，過(guò)A作AK⊥AB交BD的延長(zhǎng)線于K，

則△AKB等腰直角三角形，

在△ADK與△ABE中，

，

∴△ADK≌△ABE，

∴∠ABE=∠K=45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵BC=4，

∴AB=4,MB=2，

∴MG=2，

∵∠G=90°，

∴MEMG，

∴當(dāng)ME=MG時(shí)，ME的值最小，

∴ME=BE=2，

∴DK=BE=2，

∵CK=BC=4，

∴CD=2，

∴BD=6，

∴BD的長(zhǎng)為6時(shí)，ME的長(zhǎng)最小，最小值是2.