【題目】在△ABC中,D是邊BC的中點.

1如圖1,求證:△ABD和△ACD的面積相等;

如圖2,延長ADE,使DE=AD,連結(jié)CE,求證:AB=EC

2)當∠BAC=90°時,可以結(jié)合利用以上各題的結(jié)論,解決下列問題:

求證:ADBC(即:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半);

已知BC=4,將△ABD沿AD所在直線翻折,得到△ADB',若△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請畫出圖形(草圖)并求出AC的長度.

【答案】1證明見解析;證明見解析;(2證明見解析;作圖見解析,AC=22

【解析】

1)①作ABCAB邊上的高,根據(jù)三角形面積公式即可得出結(jié)論;

②證明ABD≌△ECD,即可證明AB=EC;

2)①根據(jù)ABD≌△ECD可得AD=DE=,再證ABC≌△CEA可得BC=AE,由此可得結(jié)論;

②分ABACABAC,AB=AC三種情況討論,畫出對應(yīng)圖,運用分類討論的數(shù)學思想,逐一分類解析,即可解決問題.

解:(1)①過點AAHBC,垂足為H

SABDBDAH,SACDCDAH

∵點DBC中點,

BD=CD,

∴△ABDACD的面積相等.

②在ABDECD中,

,

∴△ABD≌△ECD(SAS),

AB=EC

2)①∵△ABD≌△ECD(已證)

∴∠B=ECD;

∵∠BAC=90°

∴∠B+ACB=90°,

∴∠ECD+ACB=90°

∴∠ACE=BAC=90°;

在△ABC與△CEA中,

∴△ABC≌△CEA(SAS),

BC=AE;

ADAE,∴ADBC

②畫草圖如下:

()ABAC時,如圖3,由△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,

結(jié)合(1)①題的結(jié)論,可以得到點O既即是ABˊ的中點,也是CD的中點,

故四邊形ADB'C為平行四邊形,

AC=BˊD=BDBC=2

()ABAC時,

如圖4,類比()可得OA=OCOB’=OD,

又∵∠AO B’=DOC,

∴△AOBˊ≌△CODSAS),

ABˊ=CD=2,∠Bˊ=CDO,

又∵∠Bˊ=B,

∴∠B=CDO,/span>

ABOD

∴∠COD=BAC=90°,

又∵DO=OBˊ=1,

由勾股定理可得CO,

AC=2CO

() AB=AC時,由等腰三角形的性質(zhì)可知,

折疊后重合的面積等于△ABC面積的,

不可能等于,所以不合題意,舍去.

綜上所述:AC=22

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時間(第x天)

1

3

6

10

日銷售量(m件)

198

194

188

180

②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價格與時間(第x天)的關(guān)系如下表:

時間(第x天)

1≤x<50

50≤x≤90

銷售價格(元/件)

x+60

100

(1)求m關(guān)于x的一次函數(shù)表達式;

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