【題目】在△ABC中,D是邊BC的中點.
(1)①如圖1,求證:△ABD和△ACD的面積相等;
②如圖2,延長AD至E,使DE=AD,連結(jié)CE,求證:AB=EC.
(2)當∠BAC=90°時,可以結(jié)合利用以上各題的結(jié)論,解決下列問題:
①求證:ADBC(即:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半);
②已知BC=4,將△ABD沿AD所在直線翻折,得到△ADB',若△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請畫出圖形(草圖)并求出AC的長度.
【答案】(1)①證明見解析;②證明見解析;(2)①證明見解析;②作圖見解析,AC=2或2.
【解析】
(1)①作△ABC,AB邊上的高,根據(jù)三角形面積公式即可得出結(jié)論;
②證明△ABD≌△ECD,即可證明AB=EC;
(2)①根據(jù)△ABD≌△ECD可得AD=DE=,再證△ABC≌△CEA可得BC=AE,由此可得結(jié)論;
②分AB>AC,AB<AC,AB=AC三種情況討論,畫出對應(yīng)圖,運用分類討論的數(shù)學思想,逐一分類解析,即可解決問題.
解:(1)①過點A作AH⊥BC,垂足為H,
則S△ABDBDAH,S△ACDCDAH.
∵點D是BC中點,
∴BD=CD,
∴△ABD和△ACD的面積相等.
②在△ABD和△ECD中,
,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴AB=EC.
(2)①∵△ABD≌△ECD(已證),
∴∠B=∠ECD;
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ECD+∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BAC=90°;
在△ABC與△CEA中,
,
∴△ABC≌△CEA(SAS),
∴BC=AE;
∵ADAE,∴ADBC.
②畫草圖如下:
(Ⅰ)當AB>AC時,如圖3,由△ADB'與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,
結(jié)合(1)①題的結(jié)論,可以得到點O既即是ABˊ的中點,也是CD的中點,
故四邊形ADB'C為平行四邊形,
∴AC=BˊD=BDBC=2.
(Ⅱ)當AB<AC時,
如圖4,類比(Ⅰ)可得OA=OC,OB’=OD,
又∵∠AO B’=∠DOC,
∴△AOBˊ≌△COD(SAS),
∴ABˊ=CD=2,∠Bˊ=∠CDO,
又∵∠Bˊ=∠B,
∴∠B=∠CDO,/span>
∴AB∥OD,
∴∠COD=∠BAC=90°,
又∵DO=OBˊ=1,
由勾股定理可得CO,
∴AC=2CO.
(Ⅲ)當 AB=AC時,由等腰三角形的性質(zhì)可知,
折疊后重合的面積等于△ABC面積的,
不可能等于,所以不合題意,舍去.
綜上所述:AC=2或2.
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【題目】如圖,AB是⊙O 的直徑,點D在⊙O 上(點D不與A,B重合),直線AD交過點B的切線于點C,過點D作⊙O 的切線DE交BC于點E.
(1)求證:BE=CE;
(2)若DE平行AB,求sin∠ACO 的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l1:y=﹣x與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(點A在點B左側(cè)),已知A點的縱坐標是2;
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出﹣x>的解集;
(3)將直線l1:y=- x沿y向上平移后的直線l2與反比例函數(shù)y=在第二象限內(nèi)交于點C,如果△ABC的面積為30,求平移后的直線l2的函數(shù)表達式.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,BC = 1,AC =.
(1)以點B為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′,請畫出變換后的圖形;
(2)求點A和點A′之間的距離.
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【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40元,經(jīng)市場調(diào)查整理出如下信息:
①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷售量(m件)與時間(第x天)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分數(shù)據(jù)如下表:
時間(第x天) | 1 | 3 | 6 | 10 | … |
日銷售量(m件) | 198 | 194 | 188 | 180 | … |
②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價格與時間(第x天)的關(guān)系如下表:
時間(第x天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
銷售價格(元/件) | x+60 | 100 |
(1)求m關(guān)于x的一次函數(shù)表達式;
(2)設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤為y元,請寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式,并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?【提示:每天銷售利潤=日銷售量×(每件銷售價格-每件成本)】
(3)在該產(chǎn)品銷售的過程中,共有多少天銷售利潤不低于5400元,請直接寫出結(jié)果.
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【題目】如圖,點A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x軸,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:拋物線的頂點坐標為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為2,當2m﹣5≤x≤2m﹣2時,y的最大值為2,求m的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,,AD平分∠BAC,交BC于點D,點O在AB上,⊙O經(jīng)過A、D兩點,交AC于點E,交AB于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑是2cm,E是弧AD的中點,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號)
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【題目】為了豐富學生的課余生活,拓展學生的視野,某學校開設(shè)了特色選修課程.本學期該校共開設(shè)A、B、C三類課程,如下表所示.
(1)若小明從A類課程中隨機選擇一門課程,則他恰好選中“合唱”的概率是 .
(2)若小明分別從B類課程和C類課程中各隨機選擇一門課程,求他恰好選中“漢字的故事”和“乒乓球”的概率.
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【題目】已知直線y=x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線y=x2+mx﹣4經(jīng)過點A,和x軸的另一個交點為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點D是拋物線上的動點,且在第三象限,求△ABD面積的最大值;
(3)如圖2,經(jīng)過點M(﹣4,1)的直線交拋物線于點P、Q,連接CP、CQ分別交y軸于點E、F,求OEOF的值.
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