Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
如（a）圖，若點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'，與直線l的交點就是所求的點P．再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為______．
（2）實踐運用：
如（c）圖，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點B是

AD

的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸：
如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

（1）BP+PE的最小值=

BC2-BE2

=

22-12

=

3

．

（2）作點A關于CD的對稱點A′，連接A′B，交CD于點P，連接OA′，AA′，OB．
∵點A與A′關于CD對稱，∠AOD的度數(shù)為60°，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，
∵點B是

AD

的中點，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
∵⊙O的直徑CD為4，
∴OA=OA′=2，
∴A′B=2

2

．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2

2

．

（3）如圖d：首先過點B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
連接DB′并延長交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分線，可得∠APB=∠APD）．