Question

（2012•朝陽）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn)，△PAC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求使S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△MPC（P為上述（3）問中使S最大時(shí)的點(diǎn)）為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的長(zhǎng)，由射影定理能求出OC的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式，由x=-

b

2a

能求出拋物線的對(duì)稱軸．
（3）首先求出直線AC的解析式，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于Q，在知道拋物線和直線AC解析式的情況下，用m表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值即為線段PQ的長(zhǎng)，而S=

1

2

AC•PQ，據(jù)此求得關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可確定S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后列出△MPC的三邊長(zhǎng)，若該三角形是等腰三角形，根據(jù)①M(fèi)P=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
則：OC=

OA2

OB

=4，
∴C（4，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-

1

2

∴拋物線的解析式：y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，對(duì)稱軸 x=

3

2

．

（3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+2，代入點(diǎn)C（4，0），得：
4k+2=0，k=-

1

2

∴直線AC：y=-

1

2

x+2；
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于H，交直線AC于Q，設(shè)P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2）、
∴S_梯形AOHP=

1

2

[2+（-

1

2

m²+

3

2

m+2）]m=-

1

4

m³+

3

4

m²+2m，
S_△PHC=

1

2

（4-m）（-

1

2

m²+

3

2

m+2）=

1

4

m³-

7

4

m²+2m+4，
S_△AOC=

1

2

×4×2=4，
S=S_梯形AOHP+S_△PHC-S_△AOC=-m²+4m=-（m-2）²+4，
∴當(dāng)m=2，即 P（2，3）時(shí)，S的值最大．

（4）依題意，設(shè)M（

3

2

，b），已知P（2，3）、C（4，0），則有：
MP²=b²-6b+

37

4

、MC²=b²+

25

4

、PC²=13；
當(dāng)MP=MC時(shí)，b²-6b+

37

4

=b²+

25

4

，解得 b=

1

2

；
當(dāng)MP=PC時(shí)，b²-6b+

37

4

=13，解得 b=

6± 51

2

；
當(dāng)MC=PC時(shí)，b²+

25

4

=13，解得 b=±

3 3

2

；
綜上，存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 （

3

2

，

1

2

）、（

3

2

，

6+ 51

2

）、（

3

2

，

6- 51

2

）、（

3

2

，

3 3

2

）、（

3

2

，-

3 3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：題目主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、三角形面積的求法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．類似（4）題：在等腰三角形的腰和底不確定的情況下，一定要進(jìn)行分類討論．