【題目】已知AB為⊙O的直徑,BM為⊙O的切線,點C為射線BM上一點,連接AC交⊙O于點D,點E為BC上一點.連接AE交半圓于F.
(1)如圖1,若AE平分∠BAC,求證:∠DBF=∠CBF;
(2)如圖2,過點D作⊙O的切線交BM于N,若DN⊥BM,求證:△ABC為等腰直角三角形;
(3)在(2)的條件下,如圖3,延長BF交AC于G,點H為AB上一點,且BH=2BE,過點H作AE的垂線交AC于P,連接OG交DN于K,若AP=CG,EF=1,求GK的長.
【答案】
(1)解:證明:如圖1中,
∵AB是直徑,BM是切線,
∴∠AFB=∠ABC=90°,
∵∠FAB+∠ABF=90°,∠ABF+∠CBF=90°,
∴∠CBF=∠FAB,
∵AE平分∠BAC,
∴∠EAC=∠FAB,
∵∠DBF=∠EAC,
∴∠DBF=∠CBF.
(2)解:證明:如圖2中,連接DM.
∵DM是⊙O的切線,DM⊥BC,
∴∠ODM=∠DMB=∠OBM=90°,
∴四邊形ODMB是矩形,
∵OD=OB,
∴四邊形ODMB是正方形,
∴∠DBO=45°,
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=45°,∵∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(3)解:如圖3中,連接PB,作CM⊥BC交HP的延長線于M,延長BG交CM于N,作GR⊥AB于R,交DN于T.
∵AP=CG,∠BAP=∠BCG=45°,BA=BC,
∴△BAP≌△BCG,
∴BP=BG,
∴∠BPG=∠BGP,
∵HM⊥AE,BN⊥AE,
∴HM∥BN,∵MN∥BH,
∴四邊形MNBH是平行四邊形,
∴MN=BH,
∵∠APH=∠CPM=∠BGP=∠BPG,
PC=PC,∠PCB=∠PCM,
∴△PCM≌△PCB,
∴CM=BC=AB,
∵BC=AB,∠ABE=∠BCN,易證∠BAE=∠CBN,
∴△ABE≌△BCN,
∴BE=CN,設(shè)BE=CN=a,則BH=MN=2a,
∴CM=BC=AB=3a,
∴AH=BE=a,
∵△BFE∽△ABE,
∴ = = ,
∵EF=1,
∴BF=3,BE= = ,
∴AH=CN=BE= ,AB=BC=CM=3 ,
∵AH∥CM,
∴ = = ,
∵AP=CG,
∴AP=DP=DG=CG,
∵GR∥BC,
∴ = = ,
∴AR=GR= ,OR=RB= ,
在Rt△GOR中,GO= = ,
∵DK∥OA,
∴ = = ,
∴GK= .
【解析】(1)由AB是直徑和MB是⊙O的切線,易證得∠CBF=∠FAB,再根據(jù)角平分線的定義和同弧所對的圓周角相等,可證得結(jié)論。
(2)根據(jù)題意,易證得四邊形ODMB是正方形,根據(jù)正方形的每一條對角線平分一組對角,得到∠DBO=45°,再由圓周角的性質(zhì),可證得∠BAC=∠ACB=45°,即可得出△ABC是等腰直角三角形.
(3)先證明△BAP≌△BCG得出BP=BG,再證明四邊形MNBH是平行四邊形,得出MN=BH,然后證明△PCM≌△PCB、△ABE≌△BCN得出對應邊相等,設(shè)BE=CN=a,則BH=MN=2a,易證△PCM≌△PCB,建立方程求出相關(guān)線段的長,根據(jù)勾股定理及平行得線段成比例,建立方程,求解即可求得GK的值。
【考點精析】關(guān)于本題考查的平行四邊形的判定與性質(zhì)和切線的判定定理,需要了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解某市九年級學生學業(yè)考試體育成績,現(xiàn)從中隨機抽取部分學生的體育成績進行分段(A:50分; B:49-45分;C:44-40分;D:39-30分;E:29-0分).每段包含最高分,不包含最低分,統(tǒng)計表如下,統(tǒng)計圖如圖所示.
分數(shù)段 | 頻數(shù)(人) | 百分比 |
根據(jù)上面提供的信息,回答下列問題:
(1)在統(tǒng)計表中,的值為___, 的值為__,并將統(tǒng)計圖補充完整.
(2)成績在40分以上定為優(yōu)秀,那么該市今年10440名九年級學生中體育成績?yōu)閮?yōu)秀的學生約有多少名?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B兩個工廠位于一段直線形河的異側(cè),A廠距離河邊AC=5km,B廠距離河邊BD=1km,經(jīng)測量CD=8km,現(xiàn)準備在河邊某處(河寬不計)修一個污水處理廠E.
(1)設(shè)ED=x,請用x的代數(shù)式表示AE+BE的長;
(2)為了使兩廠的排污管道最短,污水廠E的位置應怎樣來確定此時需要管道多長?
(3)通過以上的解答,充分展開聯(lián)想,運用數(shù)形結(jié)合思想,請你猜想的最小值為多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“和諧號”火車從車站出發(fā),在行駛過程中速度y(單位:m/s)與時間x(單位:s)的關(guān)系如圖所示,其中線段BC∥x軸.請根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題:
(1)當0≤x≤10,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)求C點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長線上的一點,BE=BA,過E作EF⊥AB,F(xiàn)為垂足,下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=EF=EC;④BA+BC=2BF,其中正確的結(jié)論有________(填序號).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年某市中考體育考試包括必考和選考兩項.必考項目:男生1000米跑;女生800米跑;選考項目(五項中任選兩項):A.擲實心球、B.籃球運球、C.足球運球、D.立定跳遠、E.一分鐘跳繩.那么小麗同學考“800米跑、立定跳遠、一分鐘跳繩”的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,點E是BC的中點,動點P從A點出發(fā),以每秒2cm的速度沿A→C→E運動,最終到達點E.若設(shè)點P運動的時間是t秒,那么當t取何值時,△APE的面積等于10?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】圖1、圖2是兩張形狀大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,線段AB、EF的端點均在小正方形的頂點上.
(1)如圖1,作出以AB為對角線的正方形并直接寫出正方形的周長;
(2)如圖2,以線段EF為一邊作出等腰△EFG(點G在小正方形頂點處)且頂角為鈍角,并使其面積等于4.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD的對角線交于點E,且AE=EC,BE=ED,以AB為直徑的半圓過點E,圓心為O.
(1)利用圖1,求證:四邊形ABCD是菱形.
(2)如圖2,若CD的延長線與半圓相切于點F,且直徑AB=8.
①△ABD的面積為 .
② 的長 .
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