Question

如圖8，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過點A（-1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點．
（1）求此拋物線的解析式．

（2）當a=1時，求四邊形MEFP面積的最大值，并求此時點P的坐標．

（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最�。空堈f明理由．

 

Answer 1

解：（1）設拋物線為

∵二次函數(shù)的圖象過點A(－1，0)、C(0，5)

∴

解得：                            

∴二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為

即y=－x²+4x+5                    

（2）當a=1時，E（1,0）,F（2,0），

設P的坐標為(x，－x²+4x+5)

過點P作y軸的垂線，垂足為G，

則四邊形MEFP面積

=

=

=

=

所以，當時，四邊形MEFP面積的最大，最大值為，

此時點P坐標為.

（3）EF=1，把點M向右平移1個單位得點M₁，再做點M₁關(guān)于x軸的對稱點M₂,在四邊形FMEF中，因為邊PM，EF為固定值，所以要使四邊形FMEF周長最小，則ME+PF最小，因為ME=M₁F=M₂F，所以只要使M₂F+PF最小即可，所以點F應該是直線M₂P與x軸的交點，由OM=1，OC=5，得點P的縱坐標為3，根據(jù)y=－x²+4x+5可求得點P（）

又點M₂坐標為（1，－1），

所以直線M₂P的解析式為：，

當y=0時，求得，∴F（，0）

 ∴

所以，當時，四邊形FMEF周長最小.