Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，且經過點（b－2，2b²－5b－1）.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）⊙M過A、B、C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標；

（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點M順時針旋轉，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點E、F，若△DMF為等腰三角形，求點E的坐標.

 

   

Answer 1

解析：（1）把點（b－2，2b²－5b－1）代入解析式，得

2b²－5b－1=（b－2）²+b（b－2）－3b+3，  

解得b=2.

∴拋物線的解析式為y=x²+2x－3.          

（2）由x²+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

拋物線的對稱軸是直線x=－1，圓心M在直線x=－1上.

∴設M（－1，n），作MG⊥x軸于G，MH⊥y軸于H，

連接MC、MB.

∴MH=1，BG=2.                                      

∵MB=MC，∴BG²+MG²=MH²+CH²，

即4+n²=1+（3+n）²，解得n=－1，∴點M（－1，－1）   

（3）如圖，由M（－1，－1），得MG=MH.

∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.

由旋轉可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF為等腰三角形，則△AME為等腰三角形.         

設E（x，0），△AME為等腰三角形，分三種情況：

①AE=AM=，則x=－3，∴E（－3，0）；

②∵M在AB的垂直平分線上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0）                           

③點E在AM的垂直平分線上，則AE=ME.

AE=x+3，ME²=MG²+EG²=1+（－1－x）²，∴（x+3）²=1+（－1－x）²，解得x=，∴E（，0）.∴所求點E的坐標為（－3，0），（1，0），（，0）