Question

20．如圖，AD，AE是△ABC的∠BAC的內、外角平分線，過B作AD的垂線交AD的延長線于F，連FC并延長交AE于M，求證：AM=ME．

Answer 1

分析 延長BF，AC交于H，根據角平分線的定義和平角的定義得到∠FAE=90°，推出BF∥AE，于是得到△ACM∽△CFH，△BCF∽△CME，根據相似三角形的性質得到$\frac{AM}{FH}=\frac{CM}{CF}$，$\frac{ME}{BF}=\frac{CM}{CF}$，等量代換得到$\frac{AM}{FH}=\frac{ME}{BF}$，通過△ABF≌△AHF，得到BF=FH，于是求得結論．

解答 證明：延長BF，AC交于H，
∵AD、AE分別是△ABC的∠BAC內外角平分線，
∴∠FAE=90°，
∵BF⊥AD，
∴BF∥AE，
∴△ACM∽△CFH，△BCF∽△CME，
∴$\frac{AM}{FH}=\frac{CM}{CF}$，$\frac{ME}{BF}=\frac{CM}{CF}$，
∴$\frac{AM}{FH}=\frac{ME}{BF}$，
∵AD是∠BAC的平分線，且是BH邊上的垂線，
∴∠BAF=∠HAF，∠AFB=∠AFH，
在△ABF與△AHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠HAF}\\{AD=AD}\\{∠AFB=∠AFH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△AHF，
∴BF=FH，
∴AM=ME．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．