Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有一Rt△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線l：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線l的解析式及頂點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（2）①求證：拋物線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
②分別連接CG，DG，求△GCD的面積．
（3）在第二象限內(nèi)，拋物線上存在異于點(diǎn)G的一點(diǎn)P，使△PCD與△CDG的面積相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=1，

∴A（1，0）．

又∵tan∠BAO= =3，

∴OB=3．

∴B（0，3）．

將A（1，0）、B（0，3）代入拋物線的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣1，4）

（2）

解：①證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；OC=OB=3，

∴C（﹣3，0）．

當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3=﹣9+6+3=0，

∴點(diǎn)拋物線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

②如圖1所示；過(guò)點(diǎn)G作GE⊥y軸．

∵GE⊥y軸，G（﹣1，4），

∴GE=1，OE=4．

∴S梯形GEOC= （GE+OC）OE= ×（1+3）×4=8．

∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；OD=OA=1，

∴DE=3．

∴S△OCD= OCOD= ×3×1= ，S△GED= EGED= ×1×3= ．

∴S△CDG=S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED=8﹣ ﹣ =5

（3）

解：如圖2所示：過(guò)點(diǎn)G作PG∥CD，交拋物線與點(diǎn)P．

∵PG∥CD，

∴△PCD的面積=△GCD的面積．

∵OD=OA=1，

∴D（0，1）．

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．

∵將點(diǎn)C（﹣3，0）、D（0，1）代入得： ，解得：k= ，b=1，

∴直線CD的解析式為y= +1．

∵PG∥CD，

∴直線PG的一次項(xiàng)系數(shù)為 ．

設(shè)PG的解析式為y= x+b1．

∵將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得： +b1=4，解得：b1= ，

∴直線PG的解析式為y= + ．

∵將y= + 與y=﹣x2﹣2x+3聯(lián)立．解得： ， ，

∴P（﹣ ， ）

【解析】（1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得b、c的值，從而可得到拋物線的解析式，最后依據(jù)配方法可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得點(diǎn)D和點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得y=0，從而可證明點(diǎn)拋物線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；如圖1所示；過(guò)點(diǎn)G作GE⊥y軸，分別求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面積，最后依據(jù)S△CDG=S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED求解即可；（3）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)G作PG∥CD，交拋物線與點(diǎn)P．先求得直線CD的解析式，然后可得到直線PG的一次項(xiàng)系數(shù)，然后由點(diǎn)G的坐標(biāo)可求得PG的解析式，最后將直線PG的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，最后解得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．