Question

【題目】如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，若∠B＝∠DEC＝30°，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB上時(shí)，填空：

①線段DE與AC的位置關(guān)系是　 　；

②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，S1與S2的數(shù)量關(guān)系是　 　；

（2）猜想論證

當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請你證明小明的猜想；

（3）拓展探究

如圖4，若BC＝3，AC＝2，當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形ABDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）成立，證明詳見解析；（3）存在，最大值為12．

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD＝60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

（3）由四邊形ABDE的面積＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，則△BDC的面積最大時(shí)，四邊形ABDE的面積最大，即可求解．

（1）①DE∥AC，

理由如下：

∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD＝60°，

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B＝30°，∠C＝90°，

∴CD＝AC＝AB，

∴BD＝AD＝AC，

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2；

故答案為：DE∥AC；S1＝S2；

（2）如圖3，作點(diǎn)D作DM⊥BC于M，過點(diǎn)A作AN⊥CE于N，

∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

,

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2．

（3）∵四邊形ABDE的面積＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，

∴△BDC的面積最大時(shí)，四邊形ABDE的面積最大，

∴當(dāng)CD⊥BC時(shí)，△BDC的面積最大值為×2×3＝3，

∴四邊形ABDE的面積最大值＝2××2×3+2×3＝6+6＝12．