Question

（2013•湖州二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx和雙曲線y=

k′

x

在第一象限相交于點A（1，2），點B在y軸上，且AB⊥y軸．有一動點P從原點出發(fā)沿y軸以每秒1個單位的速度向y軸的正方向運動，運動時間為t秒（t＞0），過點P作PD⊥y軸，交直線OA于點C，交雙曲線于點D．

（1）求直線y=kx和雙曲線y=

k′

x

的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)四邊形CDAB的面積為S，當P在線段OB上運動時（P不與B點重合），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在圖中第一象限的雙曲線上是否存在點Q，使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時t的值和Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A的坐標代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，；利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）OP=t，把y=t代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，求得C，D的橫坐標，則CD的長即可利用t表示出來，然后利用梯形的面積公式即可寫出函數(shù)的解析式；
（3）分AB=∥CD，且CD在AB下方時；當AB=∥CD，且CD在AB上方時以及BQ=∥AC，且CD在AB下方三種情況進行討論．依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解．

解答：解：（1）把A（1，2）代入y=kx和y=

k′

x

，得
K=2，k?=2
∴直線y=kx的函數(shù)關(guān)系式是y=2x
雙曲線y=

k′

x

的函數(shù)關(guān)系式是y=

2

x

，
（2）∵AB=1，OB=2，OP=t
∴PC=

t

2

，PD=

2

t

，BP=2-t
∴當CD在AB下方時，CD=PD-PC=

2

t

-

t

2

．
∴S=

1

2

(1+

2

t

-

t

2

)(2-t)
=

t3-4t2+8

4t

（0＜t＜2），
（注：自變量t的取值范圍沒有寫出的不扣分，函數(shù)化簡結(jié)果可以用不同
的形式表示，只要結(jié)果正確的均不扣分，如：S=

t2

4

-t+

2

t

等）
（3）存在3種情形，具體如下：
①當AB=∥CD，且CD在AB下方時（圖2）
CD=PD-PC=

2

t

-

t

2

=1，
解得  t₁=

5

-1，t₂=-

5

-1（舍去）
∴PD=

2

t

=

2

5 -1

=

5 +1

2

，OP=t=

5

-1
∴當t=

5

-1時，存在Q（

5 +1

2

，

5

-1）使以
A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，
②當AB=∥CD，且CD在AB上方時（圖2）
CD=PC-PD=

t

2

-

2

t

=1，解得  t₁=

5

+1，t₂=-

5

+1（舍去）
∴PD=

2

t

=

2

5 +1

=

5 -1

2

，OP=t=

5

+1
∴當t=

5

+1時，存在Q（

5 -1

2

，

5

+1）使以
A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，
③當BQ=∥AC，且CD在AB下方時（見圖3）
此時Q點的坐標仍為（

5 -1

2

，

5

+1）
過C作CG⊥AB交AB于G，
過Q作QH⊥y軸交y軸于H
顯然，△ACG≌△QBH
∴CG=BH=BP
∴OP=2OB-OH=4-（

5

+1）=3-

5

∴當t=3-

5

時，存在Q（

5 -1

2

，

5

+1）使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定方法的綜合應(yīng)用，正確理解分情況討論是關(guān)鍵．