Question

1．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過
A（-1，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使∠PCB=90°的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使A、C、E、F構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠OCB，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠PCD的度數(shù)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）分類討論：①以AE為平行四邊形的邊，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得CF∥AE，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得答案；
②AE為平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A、B點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），得
B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
將A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=-3}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x²-2x-3；
（2）設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為（1，b），如圖1：

過P點(diǎn)作PD⊥y軸于D點(diǎn)，由OB=OC，得
∠OBC=∠OCB=45°．
由∠OCB+∠PCD=90°，得
∠PCD=∠CPD=45°．
PD=CD，即-3-b=1，
解得b=-4，
P（1，-4）；
（3）若x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E，拋物線上是存在一點(diǎn)F，使A、C、E、F構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，理由如下：
①如圖2：

以AE為平行四邊形的邊，CF∥AE，得F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，
即C、F關(guān)于x=1對(duì)稱，得F₁（2，-3）；
②如圖3：

以AE為平行四邊形的對(duì)角線，
F到x軸的距離與C到x軸的距離相等，得F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
即x²-2x-3=3，
解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，
F₂（1+$\sqrt{7}$，3），F(xiàn)₃（1-$\sqrt{7}$，3）．
綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)F₁（2，-3）；F₂（1+$\sqrt{7}$，3），F(xiàn)₃（1-$\sqrt{7}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，（1）利用函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；（2）利用△PCD是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵；（3）利用對(duì)角頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等得出關(guān)于x的方程是解題關(guān)鍵．