Question

如圖，AB是圓O的直徑，AM和BN是圓O的兩條切線，E是圓O上一點(diǎn)，D是AM上一點(diǎn)，連接DE并延長交BN于C，且OD∥BE，OF∥BN.

（1）求證：DE是圓O的切線；

（2）求證：OF=CD.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】證明：（1）連接OE，

∵AM是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，

∴∠DAO=90⁰。

∵OD∥BE，

∴∠AOD=∠OBE，∠DOE=∠OEB。

∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE。

∴∠AOD=∠DOE。

在△AOD和△DOE中，∵OA=OE，∠AOD=∠DOE，OD=OD，

∴△AOD≌△DOE（SAS）�！唷螪AO=∠DEO=90⁰。

∴DE與⊙O相切。

（2）∵AM和BN是⊙O的兩條切線，∴MA⊥AB，NB⊥AB�！郃D∥BC。

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，OF∥BN，∴OF（AD＋BC）。

∵DE切⊙O于點(diǎn)E，∴DA=DE，CB=CE。

∴DC=AD＋CB。∴OF=CD。

（1）連接OE，由已知，通過SAS證明△AOD≌△DOE，即可得∠DAO=∠DEO=90⁰，從而得出結(jié)論。

（2）一方面由梯形中位線定理得到OF（AD＋BC），另一方面由切線的性質(zhì)，得DA=DE，CB=CE，從而證得結(jié)論。