Question

【題目】對于線段外一點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)連線所構(gòu)成的角叫做這個點(diǎn)關(guān)于這條線段的視角．如圖1，對于線段AB及線段AB外一點(diǎn)C，我們稱∠ACB為點(diǎn)C關(guān)于線段AB的視角．

如圖2，點(diǎn)Q在直線l上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于線段AB的視角最大時，則稱這個最大的“視角”為直線l關(guān)于線段AB的“視角”．

（1）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（2，2），點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣2，2），點(diǎn)C關(guān)于線段AB的視角為　 　度，x軸關(guān)于線段AB的視角為　 　度；

（2）如圖4，點(diǎn)M是在x軸上，坐標(biāo)為（2，0），過點(diǎn)M作線段EF⊥x軸，且EM＝MF＝1，當(dāng)直線y＝kx（k≠0）關(guān)于線段EF的視角為90°，求k的值；

（3）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，P（，2），Q（+1，1），直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的夾角為60°，且關(guān)于線段PQ的視角為45°，求這條直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）45，45；（2）k＝；（3）y＝x+﹣2

【解析】

（1）如圖3，連接AC，則∠ABC=45°；設(shè)M是x軸的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)O時，∠AOB=45°，該視角最大，即可求解；
（2）如圖4，以點(diǎn)M為圓心，長度1為半徑作圓M，當(dāng)圓與直線y=kx相切時，直線y=kx（k≠0）關(guān)于線段EF的視角為90°，即∠EQF=90°，則MQ⊥直線OE，OQ=1，OM=2，故直線的傾斜角為30°，即可求解；
（3）直線PQ的傾斜角為45°，分別作點(diǎn)Q、P作x軸、y軸的平行線交于點(diǎn)R，RQ=RP=1，以點(diǎn)R為圓心以長度1為半徑作圓R，由（1）知，設(shè)直線與圓交于點(diǎn)Q′，由（1）知，當(dāng)PQ′Q為等腰三角形時，視角為45°，則QQ=2RQ=2，故點(diǎn)Q′（-1，1），即可求解．

（1）如圖3，連接AC，則∠ABC＝45°；

設(shè)M是x軸的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)O時，∠AOB＝45°，該視角最大，

由此可見：當(dāng)△ABC為等腰三角形時，視角最大；

故答案為：45，45；

（2）如圖4，以點(diǎn)M為圓心，長度1為半徑作圓M，

當(dāng)圓與直線y＝kx相切時，直線y＝kx（k≠0）關(guān)于線段EF的視角為90°，即∠EQF＝90°，則MQ⊥直線OE，MQ＝1，OM＝2，故直線的傾斜角為30°，故k＝；

（3）直線PQ的傾斜角為45°，分別作點(diǎn)Q、P作x軸、y軸的平行線交于點(diǎn)R，RQ＝RP＝1，以點(diǎn)R為圓心以長度1為半徑作圓R，

由（1）知，設(shè)直線與圓交于點(diǎn)Q′，由（1）知，當(dāng)PQ′Q為等腰三角形時，視角為45°，

則QQ＝2RQ＝2，故點(diǎn)Q′（﹣1，1），

直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的夾角為60°，則直線的表達(dá)式為：y＝x+b，

將點(diǎn)Q′的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線的表達(dá)式為：y＝x+﹣2