【題目】數(shù)學(xué)課上林老師出示了問題:如圖,AD∥BC,∠AEF=90°,AD=AB=BC=DC,∠B=90°,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),且EF交∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.
同學(xué)們作了一步又一步的研究:
(1)經(jīng)過思考,小明展示了一種解題思路:如圖1,取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF,小明的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;
(2)小穎提出一個新的想法:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由;
(3)小華提出:如圖3,點(diǎn)E是BC的延長線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立.小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請說明理由.
【答案】見解析
【解析】解:(1)正確.理由如下:
取AB的中點(diǎn)M,連接ME,
則AM=BM=AB,
∵AD=AB=BC=DC,
∴四邊形ABCD是菱形,
∵∠B=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∴∠DCG=90°,
∵CF平分∠DCG,
∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=90°+45°=135°,
∵∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),
∴BE=EC=BC,
∴AM=EC=BM=BE,
∴△BME是等腰直角三角形,
∴∠BME=45°,
∴∠AME=135°=∠ECF,
在△AME和△ECF中,,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF
(2)正確.理由如下:在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME.
∵AB=BC,AM=EC,
∴BM=BE.
∴∠BME=45°.
∴∠AME=135°.
∵CF是外角平分線,
∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=135°.
∴∠AME=∠ECF.
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF.
在△AME和△ECF中,,
∴△AME≌△BCF.
∴AE=EF.
(3)正確.理由如下:在BA的延長線上取一點(diǎn)N,使AN=CE,連接NE.
∵AB=BC,AN=CE,
∴BN=BE.
∴∠N=∠FCE=45°..
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BE.
∴∠DAE=∠BEA.
∴∠NAE=∠CEF.
在△ANE和△ECF中,,
∴△ANE≌△ECF(ASA).
∴AE=EF.
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現(xiàn)將△ABC平移后得△EDF,使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.
(1)畫出△EDF;
(2)線段BD與AE有何關(guān)系? ____________;
(3)連接CD、BD,則四邊形ABDC的面積為_______.
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根據(jù)上面提供的信息,回答下列問題:
(1)在統(tǒng)計(jì)表中,a的值為 ,b的值為 ;
(2)將統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)如果把成績在40分以上(含40分)定為優(yōu)秀,那么該市今年10560名九年級學(xué)生中體育成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約有多少名?
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【題目】(4分)有一組數(shù)據(jù):3,4,5,6,6,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是( )
A.4.8,6,6 B.5,5,5 C.4.8,6,5 D.5,6,6
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A.M>N B.M=N C.M<N D.不確定
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(1)求k的值及直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)直線y=2x交雙曲線y=于點(diǎn)C、D(點(diǎn)C在第一象限)求點(diǎn)C、D的坐標(biāo);
(3)設(shè)直線y=ax+b與雙曲線y=(ak≠0)的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2,直線與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,結(jié)合(1)、(2)中的結(jié)果,猜想x1、x2、x0之間的等量關(guān)系并證明你的猜想.
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(1)∠BCO= °;
(2)求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
(3)是否存在時間t,使得以PC為直徑的⊙D與直線QM相切?若存在,求t的值;不存在,說明理由.
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