Question

（2013•黃陂區(qū)模擬）正△ABC的兩邊上的點M，N滿足BM=AN，BN交于CN于點E
（1）求證：BM²=ME•MC；
（2）△BCE沿著BC向下翻折到△BCF，延長CF和BF交AB于P，交AC于K，若正△ABC邊長是10，求BP•CK的值；
（3）當E為BN的中點時，

BM

MA

=

5 -1

2

（直接寫出比值）

Answer 1

分析：（1）首先證明△ABN≌△BCM，得出∠ABN=∠BCM，進一步證明△BEM∽△CBM，問題得證；
（2）利用折疊，得出∠NBC=∠KBC，∠MCB=∠PCB，進一步證得△PCB∽△BCK，得出BP•CK的值即可買；
（3）由△BME∽△BCM，得出

BM

MC

=

BE

EC

，△CNE∽△CAM，得出

CN

MC

=

NE

AM

，E為BN的中點，則BE=NE，把兩個比例式相除，得出

BM

CN

=

AM

BC

，結合BM=AN求出BM的長度，求出AM的長度，求得比值即可．

解答：（1）證明：如圖，

在△ABN和△BCM中，

AB=BC ∠A=∠CBM=60° AN=BM

∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN=∠BCM，
又∵∠BME=∠CMB，
∴△BEM∽△CBM，
∴

BM

ME

=

MC

BM

，
即BM²=ME•MC；

 （2）解：如圖，

△BCE沿著BC向下翻折到△BCF，
∴∠NBC=∠KBC，∠MCB=∠PCB，
又∵∠ABN=∠BCM，
∴∠ABN=∠BCM=∠PCB，
∠ABN+∠NBC=60°，∠PCB+∠BPC=60°
∴∠BPC=∠NBC=∠KBC，
∴△PCB∽△BCK，
∴

PB

BC

=

BC

CK

，BC=10，
即BP•CK=10×10=100；

（3）由△BME∽△BCM，
∴

BM

MC

=

BE

BC

，①
同理△CNE∽△CAM，
∴

CN

MC

=

NE

AM

，②
又∵E為BN的中點，則BE=NE，
①②相除得，

BM

CN

=

AM

BC

，
即

BM

10-BM

=

10-BM

10

，
解得BM=15+5

5

（不合題意，舍去），或15-5

5

；
則AM=10-BM=5

5

-5，
∴

BM

AM

=

5 -1

2

．

點評：此題考查三角形全等的判定與性質，三角形相似的判定與性質，翻折等知識點，是比較綜合的題目．