Question

【題目】如圖，二次函數與x軸、分別交于點A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．連接CA、CB．

（1）直接寫出拋物線的頂點坐標 ；∠BCO= °;

（2）點P是拋物線對稱軸上一個動點， 當PA+PC的值最小時，點P的坐標是 ；

（3）在（2）的條件下，以點O為圓心，OA長為半徑畫⊙O，點F為⊙O上的動點，值最小，則最小值是 ；

（4）點D是直線BC上方拋物線上的一點，是否存在點D使∠BCD=∠CAO－∠ACO，若存在，求出點D的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1,4）；45°；（2）（1,2）；（3） ；（4）D的坐標為（）

【解析】

（1）根據拋物線的頂點公式計算出頂點和C,B即可；

（2）做C關于l的對稱點,連接A點和C的對稱點，交l的點即為P,此時PA+PC的值最小.

（3）圓O與y軸的交點為G，連接BG，BG與l的交點即要求的F點，此為胡不歸模型.

（4）作AC的垂直平分線，交x軸于點N，連接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC.連接CM.得M的坐標.求出直線CM的解析式，根據D為直線CM與拋物線的交點，得點D的坐標.

（1）（1,4）；45°

∵二次函數

∴y=-（x-1）2+4

∴拋物線的頂點坐標（1,4）

∵C(O,3),B(3,0）

∴CO=BO

∴∠BCO=45°

（2）（1,2）

作C關于l的對稱點E,連接AE，交l的點即為P,此時PA+PC的值最小

∵A,E關于l對稱，C(O,3)

∴E(2,3)

∴AE為y=x+1

∵點P在拋物線對稱軸上

∴P(1,2)

（3）圓O與y軸的交點為G，連接BG，BG與l的交點即要求的F點，此為胡不歸模型.求得最小值為.

（4）作AC的垂直平分線，交x軸于點N，則N點坐標為（4，0），連接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC.連接CM.則點M的坐標為（7,4）.直線CM的解析式為，，得點D的坐標為（）.

由題意可知A(-1,0），C(0,3）

作AC的垂直平分線，交x軸于點N

∴該垂直平分線為y= -x+

∴N點坐標為（4，0）

連接CN，作CN⊥NM，截取NM=NC，連接CM

CN=MN=5且CN⊥NM

∴M的坐標為（7,4）

可得直線CM的解析式為

∵根據D為直線CM與拋物線的交點

∴

∴D的坐標為（）

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