Question

11．如圖，有一塊邊長為a的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏行，再沿圖中虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，若該紙盒側(cè)面積的最大值是$\frac{9\sqrt{3}}{8}$cm²，則a的值為3cm．

Answer 1

分析 如圖，由等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三個箏形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根據(jù)折疊后是一個三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO為矩形，且全等．連結(jié)AO證明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，設(shè)OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=$\sqrt{3}x$，由矩形的面積公式就可以表示紙盒的側(cè)面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到其最大值的代數(shù)式，根據(jù)題意列方程，解方程即可．

解答 解：如圖，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵箏形ADOK≌箏形BEPF≌箏形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折疊后是一個三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO都為矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
連結(jié)AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AO}\\{OD=OK}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
設(shè)OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=$\sqrt{3}$x，
∴DE=a-$2\sqrt{3}$x，
∴紙盒側(cè)面積=3x（a-2$\sqrt{3}$x）=-6$\sqrt{3}$x²+3ax=-6$\sqrt{3}$（x-$\frac{\sqrt{3}}{12}a$）²+$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{24}$，
∵該紙盒側(cè)面積的最大值是$\frac{9\sqrt{3}}{8}$cm²，
∴$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{24}$=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，解得：a=3，或a=-3（舍去）；
故答案為：3．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，矩形的面積公式的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，解答時表示出紙盒的側(cè)面積是關(guān)鍵．