Question

【題目】已知等腰RtABC與等腰RtCDE，∠ACB=∠DCE=90°.把RtABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ED的延長線時，若，BE=5，求CD的長；

（2）當(dāng)RtABC旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，過點(diǎn)C作BD的垂線交BD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，求證：BD=2CG.

Answer 1

【答案】（1）； (2)見解析.

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到∠ADC=∠BEC=135°，進(jìn)而得到∠AEB=90°，再根據(jù)勾股定理以及AD的長，即可得出DE=7，最后根據(jù)等腰Rt△CDE，運(yùn)用勾股定理得到CD的長；

（2）過點(diǎn)A作AH∥CE，交CG的延長線于H，連接HE，則∠CAH+∠ACE=180°，再根據(jù)∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠CAE=∠BCD，再判定△BCD≌△CAH（ASA），得出AH=CD=CE，BD=CH，再判定四邊形ACEH是平行四邊形，即可得到CH=2CG，進(jìn)而得出BD=2CG．

（1）如圖1，

∵△ADC是由△BEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，

∵在等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE中，BC=AC=，∠EDC=∠DEC=45°，

∴AB=13，∠ADC=∠BEC=135°，

∴∠AEB=90°，

∴AE==12，

∴DE=7，

∴等腰Rt△CDE中，CD=DE=；

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AH∥CE，交CG的延長線于H，連接HE，則∠CAH+∠ACE=180°，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCD+∠ACE=180°，

∴∠CAE=∠BCD，

∵CF⊥BD，∠ACB=90°，

∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，

∴∠CBF=∠ACG，

在△BCD和△CAH中，

，

∴△BCD≌△CAH（ASA），

∴AH=CD=CE，BD=CH，

又∵AH∥CE，

∴四邊形ACEH是平行四邊形，

∴CH=2CG，

∴BD=2CG．