Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接BH并延長交CD于點F，連接DE交BF于點O，下列結(jié)論：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BCCF=2HE．其中正確的結(jié)論有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=AB，從而得到AE=AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DH，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根據(jù)平角等于180°求出∠CED=67.5°，從而判斷出①正確；

②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OD=OH，判斷出②正確；

③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BH=HF，判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=HE，然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE，判斷出④正確．

解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=AB，

∵AD=AB，

∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中，

，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，

∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正確；

∵AB=AH，

∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對頂角相等），

∴∠OHE=67.5°=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，

∴∠DHO=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正確；

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中，

，

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正確；

∵HE=AE-AH=BC-CD，

∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個．

故選：D．