Question

【題目】如圖，ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，點P是四邊形上的一個動點，則當△PBC為直角三角形時，BP的長為_____．

Answer 1

【答案】2或2或．

【解析】

分兩種情況：（1）①當∠BPC＝90°時，作AM⊥BC于M，求出BM＝AB＝1，AM＝BM＝，由勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，得出點P與A重合即可；②當∠BPC＝90°，點P在邊AD上，CP＝CD＝AB＝2時，由勾股定理求出BP即可；

（2）當∠BCP＝90°時，CP＝AM＝，由勾股定理求出BP即可．

解：分兩種情況：

（1）①當∠BPC＝90°時，

作AM⊥BC于M，如圖1所示，

∵∠B＝60°，

∴∠BAM＝30°，

∴BM＝AB＝1，

∴AM＝BM＝，CM＝BC﹣BM＝4﹣1＝3，

∴AC＝＝2，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴當點P與A重合時，∠BPC＝∠BAC＝90°，

∴BP＝BA＝2；

②當∠BPC＝90°，

點P在邊AD上，CP＝CD＝AB＝2時，

BP＝＝＝2；

（2）當∠BCP＝90°時，如圖3所示：

則CP＝AM＝，

∴BP＝＝；

綜上所述：當△PBC為直角三角形時，BP的長為2或2或．

故答案為：2或2或．