Question

14．已知：如圖，AM為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過⊙O上一點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，BD交⊙O于點(diǎn)C，OC平分∠AOB．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）當(dāng)⊙O的半徑為2cm，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由AM為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OA與AM垂直，再由BD與AM垂直，得到OA與BD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由OC為角平分線得到一對角相等，以及OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，進(jìn)而得出四邊形OADE是矩形，得出DC的長即可．

解答 解：（1）∵AM為圓O的切線，
∴OA⊥AM，
∵BD⊥AM，
∴∠OAD=∠BDM=90°，
∴OA∥BD，
∴∠AOC=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，
∴∠AOB=120°；

（2）過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，
∵∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BE=EC=1，
∵∠OED=∠EDA=∠OAD=90°，
∴四邊形OADE是矩形，
∴DE=OA=2，
∴EC=DC=1．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．