Question

【題目】我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”.如：如圖，已知的兩條弦，則、互為“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”.

（1）若的半徑為5，一條弦，則弦的“十字弦”的最大值為______，最小值為______.

（2）如圖1，若的弦恰好是的直徑，弦與相交于，連接，若，，，求證：、互為“十字弦”；

（3）如圖2，若的半徑為5，一條弦，弦是的“十字弦”，連接，若，求弦的長.

Answer 1

【答案】（1）10，6；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據“十字弦”定義可得弦的“十字弦”為直徑時最大，當CD過A點或B點時最小；

（2）根據線段長度得出對應邊成比例且有夾角相等，證明△ACH∽△DCA,由其性質得出對應角相等，結合90°的圓周角證出AH⊥CD，根據“十字弦”定義可得；

（3）過O作OE⊥AB于點E，作OF⊥CD于點F,利用垂徑定理得出OE=3，由正切函數得出AH=DH,設DH=x，在Rt△ODF中，利用線段和差將邊長用x表示，根據勾股定理列方程求解.

解：（1）當CD為直徑時，CD最大，此時CD=10，

∴弦的“十字弦”的最大值為10；

當CD過A點時，CD長最小，即AM的長度,過O點作ON⊥AM,垂足為N,作OG⊥AB，垂足為G,則四邊形AGON為矩形，

∴AN=OG,

∵OG⊥AB,AB=8，

∴AG=4，

∵OA=5，

∴由勾股定理得OG=3，

∴AN=3，

∵ON⊥AM,

∴AM=6，

即弦的“十字弦”的最小值是6.

（2）證明：如圖，連接AD，

∵，，，

∴ ,

∵∠C=∠C,

∴△ACH∽△DCA,

∴∠CAH=∠D,

∵CD是直徑，

∴∠CAD=90°,

∴∠C+∠D=90°,

∴∠C+∠CAH=90°,

∴∠AHC=90°,

∴AH⊥CD,

∴、互為“十字弦”.

（3）如圖，過O作OE⊥AB于點E，作OF⊥CD于點F，連接OA，OD，則四邊形OEHF是矩形，∴OE=FH,OF=EH,

∴AE=4，

∴由勾股定理得OE=3，

∴FH=3，

∵tan∠ADH=,

∴tan60°= ,

設DH=,則AH=x,

∴FD=3+x,OF=HE=4 -x,

在Rt△ODF中，由勾股定理得，OD2=OF2+FD2，

∴(3+x)2+(4 -x)2=52,

解得，x= ,

∴FD=,

∵OF⊥CD,

∴CD=2DF=

即CD=