Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，連接DE、BF、BD．

（1）求證：△ADE≌△CBF．

（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】

【1】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=DC，AD=BC，∠A=∠C. … 2分

∵點(diǎn)E，F分別為邊AB，CD的中點(diǎn)

∴∴

∴△ADE≌△CBF

【2】（2）∵AB=DC，AE = CF，∴DF=ＢＥ，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ＤＣ∥ＡＢ,

∴四邊形BFDE是平行四邊形

∵AD⊥BD，∴，∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴，

∴□BFDE是菱形…

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可證出△ADE與△CBF全等；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及平行四邊形的判定即可證出四邊形BFDE是菱形.

解：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，

∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，

∴AE=CF．

在△AED和△CFB中，

∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）菱形，若AD⊥BD，則四邊形BFDE是菱形．

證明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中點(diǎn)，

∴DE=AB=BE．

∵在ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，

∴EB∥DF且EB=DF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形．

∴四邊形BFDE是菱形．