Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為邊作正方形，頂點(diǎn)在線段上，對(duì)角線，相交于點(diǎn).

（1）若，則 ；

（2）①求證：點(diǎn)一定在的外接圓上；

②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到邊的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①詳見(jiàn)解析；②2；（3）

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)得出∠C=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，CD=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余關(guān)系證出∠BEP=∠DPC，得出△CDP∽△BPE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出BE的長(zhǎng)；
（2）①B、P、O、E四點(diǎn)共圓，即可得出結(jié)論；
②連接BO、BD，由勾股定理求出BD=4，由圓周角定理得出∠OBP=∠OEP=45°，周長(zhǎng)點(diǎn)O在BD上，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，O為BD的中點(diǎn)，即可得出答案；
（3）設(shè)的外接圓的圓心為M，作MN⊥CB于N，由三角形中位線定理得出MN=BE，設(shè)BP=x，則CP=4-x，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BE=x-x2=-（x-2）2+1，由二次函數(shù)的最大值求出BE的最大值為1，得出MN的最大值=即可．

解：（1）∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，
∴∠C=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，CD=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠DPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠DPC，
∴△CDP∽△BPE；

∴，即

∴BE=

（2）①證明：如圖，
取PE的中點(diǎn)Q，連接BQ，OQ，

∵∠POE=90°，
∴OQ=PE，
∵△BPE是直角三角形，
∴點(diǎn)Q是Rt△BPE外接圓的圓心，
∴BQ=PE，
∴OQ=BQ，
∴點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上；（到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)必在此圓上）
②解：連接OB、BD，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠DBC=45°，
∴BD==4，
∵B、P、O、E四點(diǎn)共圓，
∴∠OBP=∠OEP=45°，
∴點(diǎn)O在BD上，
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，O為BD的中點(diǎn)，OB=BD=2，
即點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2；
（3）解：設(shè)△BPE的外接圓的圓心為M，作MN⊥BC于N，如圖：

則MN∥BE，
∵ME=MP，
∴BN=PN，
∴MN=BE，
設(shè)BP=x，則PC=4-x，
由（1）得：△CDP∽△BPE，
∴，即，
解得：BE=x-x2=-（x-2）2+1

∴x=2時(shí)，BE的最大值為1，此時(shí)MN的值最大=，
即△APE的圓心到BC邊的距離的最大值為．