Question

【題目】在矩形ABCD中，G為AD上一點，連接BG，CG，作CE⊥BG于點E，連接ED交GC于點F．

（1）如圖1，若點G為AD的中點，則線段BG與CG有何數量關系？請說理由．

（2）如圖2，若點E恰好為BG的中點，且AB=3，AG=k（0＜k＜3），求的值（用含k的代數式表示）；

（3）在（2）有條件下，若M、N分別為GC、EC上的任意兩點，連接NF、NM，當k=時，求NF+NM的最小值．

Answer 1

【答案】（1）GB=GC．理由見解析；（2）=；（3）NF+NM的最小值是．

【解析】

1）結論：GB=GC．證明△BAG≌△CDG即可；

（2）根據相似三角形的性質得到，得到BC=，過G作GH⊥GD交DE于H，推出G，E．C，D四點共圓，根據圓周角定理得到∠GDH=∠GCE=∠BCE=∠ABG，根據相似三角形得，即可得到結論；

（3）把k=代入，過F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延長交AD于H，則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，則NF+NM的最小值即為FJ的長，即可得到結論．

（1）結論：GB=GC．

理由：∵四邊形ABCD是矩形，

∵AB=DC，∠A=∠CDG=90°，

∵GA=GD，

∴△BAG≌△CDG（SAS），

∴BG=CG．

（2）解：在矩形ABCD中，

∵∠A=∠ABC=90°，

∵CE⊥BG，

∴∠CEB=90°，

∴∠A=∠CEB，

∴∠AGB+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，

∴∠AGB=∠GBC，

∴△ABG∽△ECB；

∴=，

∵BG=，E為BG的中點，

∴BE=，

∴BC=，

如圖1，過G作GH⊥GD交DE于H

∴GD=BC-AG=，

∵∠BEC=∠ADC=90°，

∴G，E．C，D四點共圓，

∴∠GDH=∠GCE=∠BCE=∠ABG，

∴△AGB∽△GHD，

∴=，

∴GH=，

∴==，

∴==；

（3）當k=時，=，

如圖2，過F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延長交AD于H，

則FH⊥AD，過N作NM⊥PC于M，

∴NF+NM的最小值即為FJ的長，

∴==，

∴=，∵HJ=CD=AB=3，

∴FJ=，

即NF+NM的最小值是．