Question

【題目】如圖，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點P旋轉，得到△PDE，點D落在線段PQ上．

（1）求證：PQ∥AB；

（2）若點D在BAC的平分線上，求CP的長；

（3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）6（3）1≤x≤

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易證，結合∠C=∠C，可證△PQC∽△BAC，，從而可得∠CPQ=∠B，就可得到PQ∥AB；
（2）連接AD，由AD平分∠BAC和PQ∥AB，易證AQ=DQ，再用含“”的式子表達出AQ和DQ列出方程可求得的值；

（3）由題意可知：點E可能在△ABC內部，也可能在△ABC外部，還可能在AB邊上，先取點E在AB邊上這一特殊情況討論得到一個的值，再去討論另兩種情況；①當點E在AB上時，利用折疊的性質和PQ∥AB易證PB=PE=PC=，再由PC+PB=可解得，此時對應的T=；然后再分點E在△ABC內部和外部進行討論可得符合要求的的取值范圍.

試題解析：

（1）∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，

∴AC=，

∵，

∴，

∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ=∠B，
∴PQ∥AB.
（2）連接AD，∵PQ∥AB，
∴∠ADQ=∠DAB．
∵點D在∠BAC的平分線上，
∴∠DAQ=∠DAB，
∴∠ADQ=∠DAQ，
∴AQ=DQ．
在Rt△CPQ中，PQ=5x，
∵PD=PC=3x，
∴DQ=2x．
∵AQ=12﹣4x，
∴12﹣4x=2x，解得x=2，
∴CP=3x=6．

（3）當點E在AB上時，
∵PQ∥AB，
∴∠DPE=∠PEB．
∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，
∴∠B=∠PEB，
∴PB=PE=5x，
∴3x+5x=9，解得x=．
①當0＜x<時，點E在△ABC的內部，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此時0＜T<；
②當＜x＜3時，點E在△ABC的外部，設PE交AB于點G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足為H，
∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，
∴，
∵PG=PB=9﹣3x，
∴，
∴GH= (9﹣3x)，PH= (9﹣3x)，
∴FG=DH=3x﹣ (9﹣3x)，
∴T=PG+PD+DF+FG=(9﹣3x)+3x+ (9﹣3x)+[3x﹣ (9﹣3x)]=，
此時， ＜T＜18．
∴當0＜x＜3時，T隨x的增大而增大，
∴T=12時，即12x=12，解得x=1；
T=16時，即=16，解得x=．
∵12≤T≤16，
∴x的取值范圍是1≤x≤．