Question

【題目】對一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：

第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開；

第二步：再一次折疊，使點(diǎn)A落在MN的點(diǎn)A′處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BE，同時(shí)，得到線段BA′，EA′，展開，如圖1；

第三步：再沿EA′所在的直線折疊，點(diǎn)B落在AD的點(diǎn)B′處，得到折痕EF，同時(shí)得到線段B′F，展開，如圖2．

（1）證明：∠ABE=30°；

（2）證明：四邊形BFB′E為菱形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)判斷出A′是EF的中點(diǎn)，然后判斷出BA′垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BE=BF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠A′BE=∠A′BF，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠ABE=∠A′BE，然后根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角計(jì)算即可得證；

（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=B′E，BF=B′F，然后求出BE=B′E=B′F=BF，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明．

(1)∵對折AD與BC重合，折痕是MN，

∴點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

∴A′是EF的中點(diǎn)，

∵∠BA′E=∠A=90°，

∴BA′垂直平分EF，

∴BE=BF，

∴∠A′BE=∠A′BF，

由翻折的性質(zhì),∠ABE=∠A′BE，

∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF，

∴∠ABE= ×90°=30°；

(2)∵沿EA′所在的直線折疊,點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B′處，

∴BE=B′E,BF=B′F，

∵BE=BF，

∴BE=B′E=B′F=BF，

∴四邊形BFB′E為菱形。