【題目】小明在一次數(shù)學興趣小組活動中,對一個數(shù)學問題做如下探究:
(問題背景)
如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學探究此問題的思路是:將△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點B、C分別落在點A、E處(如圖②),易證點C、A、E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD.
(簡單應(yīng)用)
(1)在圖①中,若AC=,BC=2,則CD= .
(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,,若AB=10,BC=8,求CD的長.
(拓展延伸)
(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=a,BC=b(a<b),求CD的長.(用含a,b的代數(shù)式表示).
(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點P為AB的中點,若點E滿足AE=AC,CE=CA,點Q為AE的中點,請直接寫出線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1);(2)7;(3)CD=;(4)線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是或.
【解析】
(1)由題意可知:AC+BC=CD,所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度;
(2)連接AC、BD、AD即可將問題轉(zhuǎn)化為第(1)問的問題,利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度;
(3)以AB為直徑作⊙O,連接OD并延長交⊙O于點D1,由(2)問題可知:AC+BC=CD1;又因為CD1=D1D,所以利用勾股定理即可求出CD的長度;
(4)根據(jù)題意可知:點E的位置有兩種,分別是當點E在直線AC的右側(cè)和當點E在直線AC的左側(cè)時,連接CQ、CP后,利用(2)和(3)問的結(jié)論進行解答.
(1)由題意可得:AC+BC=CD,
∵,
∴,
∴;
(2)連接AC、BD、AD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=∠ACB=90°,
∵AD=BD,
將△BCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,如圖③,
∴∠EAD=∠DBC,
∵∠DBC+∠DAC=180°,
∴∠EAD+∠DAC=180°,
∴E、A、C三點共線,
∵AB=10,BC=8,
∴由勾股定理可求得:AC=6,
∵BC=AE,
∴CE=AE+AC=14,
∵∠EDA=∠CDB,
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,
即∠EDC=∠ADB=90°,
∵CD=ED,
∴△EDC是等腰直角三角形,
∴CE=CD,
∴CD=7;
(3)以AB為直徑作⊙O,連接OD并延長交⊙O于點D1,
連接D1A,D1B,D1C,如圖④
由(2)的證明過程可知:AC+BC=D1C,
∴,
又∵D1D是⊙O的直徑,
∴∠DCD1=90°,
∵AC=a,BC=b,
∴由勾股定理可求得:AB2=a2+b2,
∴D1D2=AB2=a2+b2,
∵D1C2+CD2=D1D2,
∴CD2=a2+b2﹣,
∵a<b,
∴;
(4)當點E在直線AC的左側(cè)時,如圖⑤,
連接CQ,PC,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
點P是AB的中點,
∴AP=CP,∠APC=90°,
又∵CA=CE,點Q是AE的中點,
∴∠CQA=90°,
設(shè)AC=a,
∵AE=,
∴,
∴,
由勾股定理可求得:,
由(2)的證明過程可知:AQ+CQ=PQ,
∴,
∴,
當點E在直線AC的右側(cè)時,如圖⑥,
連接CQ、CP,
同理可知:∠AQC=∠APC=90°,
設(shè)AC=a,
∴,
由勾股定理可求得:,
由(3)的結(jié)論可知:,
∴,
綜上所述,線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖1,在面積為3的正方形ABCD中,E、F分別是BC和CD邊上的兩點,AE⊥BF于點G,且BE=1.
(1)求證:△ABE≌△BCF;
(2)求出△ABE和△BCF重疊部分(即△BEG)的面積;
(3)現(xiàn)將△ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB′E′(如圖2),使點E落在CD邊上的點E′處,問△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學課上,張老師出示了一個題目:“如圖,ABCD的對角線相交于點O,過點O作EF垂直于BD交AB,CD分別于點F,E,連接DF,請根據(jù)上述條件,寫出一個正確結(jié)論”其中四位同學寫出的結(jié)論如下:
小青:;小何:四邊形DFBE是正方形;
小夏:;小雨:.
這四位同學寫出的結(jié)論中不正確的是
A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BF為斜邊上的高,在射線AB上有點D,連接DF,作∠DFE=90°,FE交射線BC于點E.
(問題發(fā)現(xiàn))如圖1所示,如果AB=CB,則DF與EF的數(shù)量關(guān)系為DF EF(選填>,<,=)
(類比探究)如圖2所示,如果改變Rt△ABC中兩直角邊的比例,使得AB=2BC,則DF與EF還存在①中的關(guān)系嗎?
(拓展延伸)如圖3所示,在Rt△ABC中,如果已知BC=,AB=3,EF=,試求BD的長.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是弧AB的中點,弦CD與AB相交于E.
(1)若∠AOD=45°,求證:CE=ED;(2)若AE=EO,求tan∠AOD的值.
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【題目】某公園的人工湖邊上有一座假山,假山頂上有一豎起的建筑物CD,高為10米,數(shù)學小組為了測量假山的高度DE,在公園找了一水平地面,在A處測得建筑物點D(即山頂)的仰角為35°,沿水平方向前進20米到達B點,測得建筑物頂部C點的仰角為45°,求假山的高度DE.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點坐標,頂點A的坐標為.直線交x軸于點B,交y軸于點C,與拋物線的對稱軸交于點D,E為y軸上的一個動點.
(1)求這條拋物線的解析式和點D的坐標;
(2)若以C、D、E為頂點的三角形與△ACD相似,求點E的坐標;
(3)若點E關(guān)于直線BC的對稱點M恰好落在拋物線上,求點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年月,振華中學舉行了迎國慶中華傳統(tǒng)文化節(jié)活動.本次文化節(jié)共有五個活動:書法比賽;國畫競技;詩歌朗誦;漢字大賽;古典樂器演奏.活動結(jié)束后,某班數(shù)學興趣小組開展了“我最喜愛的活動”的抽樣調(diào)查(每人只選一項),根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)此次催記抽取的初三學生共 人, ,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)初三年級準備在五名優(yōu)秀的書法比賽選手中任意選擇兩人參加學校的最終決賽,這五名選手中有三名男生和兩名女生,用樹狀圖或列表法求選出的兩名選手正好是一男一女的概率是多少.
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