Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c過點A、B兩點（A左B右），且分布在y軸兩側(cè)，且OA、OB的長是方程x²-5x+4=0的兩根，且OA＞OB，與y軸交于點C（0，4）．
（1）求4a-2b+c的值；
（2）連接AC、BC，P是線段AB上一動點，且AP=m，過點P作PM∥AC，交BC于M，當m為何值時，S_△PCM的面積最大，并求出這個最大值；
（3）△ABC外接圓的面積是______．（直接寫出答案，結(jié)果保留π）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OA、OB的長是方程x²-5x+4=0的兩根，且OA＞OB，求出OA=4，OB=1，得到A（-4，0），B（1，0），設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）（x+4），把C（0，4）代入求出a=-1，得到拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-3x+4，即可求出答案；
（2）由PM∥AC，得到△PBM∽△ABC，求出=，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABC=10，求出S_△PBM=，由S_△PCB=2（5-m），求出S_△PCM=10-2m-配方成頂點式即可求出答案；
（3）設(shè)外接圓的圓心O（-，y），根據(jù)OA=OC，求出y=，根據(jù)勾股定理求出半徑是，根據(jù)圓的面積公式即可求出答案．
解答：（1）解：∵OA、OB的長是方程x²-5x+4=0的兩根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=1，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c過點A、B兩點（A左B右），且分布在y軸兩側(cè)，
∴A（-4，0），B（1，0），設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）（x+4），
把C（0，4）代入得：4=a（0-1）（0+4），
a=-1，
∴y=-（x-1）（x+4）=-x²-3x+4，
4a-2b+c=4×（-1）-2×（-3）+4=6，
答：4a-2b+c的值是6；

（2）解：∵AP=m，
∴PB=5-m，
∵PM∥AC，
∴△PBM∽△ABC，
∴=，
又∵S_△ABC=10，
∴S_△PBM=，
又∵S_△PCB=2（5-m），
∴S_△PCM=10-2m-=-+，
∴當m=時，△PCM的面積最大，最大值是，
答：當m為時，S_△PCM的面積最大，這個最大值是．

（3）故答案為：．
點評：本題主要考查對相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，二次函數(shù)的最值，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，圓的面積，三角形的外接圓與外心等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，難度適中．